SF1626 Flervariabelanalys 7,5 hp
| Tillfälleskod | Termin(er) | Period(er) | Föreläsare |
|---|---|---|---|
| 60108 | VT2024 | 4 | Tommy Ekola |
Blandade begrepp
\(C^1\)-funktioner: Definierad & 1 gång kontinuerligt deriverbar i en omgivning. \(C^2\)-funktioner: Definierad & 2 gånger kontinuerligt deriverbar i en omgivning.
Föreläsning 0
Halvplan: Område på ena sidan av en linje. Exempel: \((a,b)\cdot(x-x_0,y-y_0)>0\) är halvplanet för linjen \((a,b)\cdot(x-x_0,y-y_0)\) på den sida normalen \((a,b)\) pekar åt.
Motsvarande gäller för plan och halvrum.
Föreläsning 1
Koordinatsystem
Polära koordinater: \((r,\theta)\)
Sfäriska koordinater: \((r,\phi,\theta)\) där \(\theta\) är longitud, \(\phi\) latitud och \(r\) radien.
Topologiska begrepp
- Omgivning: En öppen cirkelskiva centrerad kring en punkt.
- Inre punkt: En punkt som har någon omgivning helt i mängden.
- Yttre punkt: En punkt som har någon omgivning helt utanför mängden.
- Randpunkt: En punkt som varken är en inre eller yttre punkt.
- Öppen mängd: Innehåller inga randpunkter.
- Sluten mängd: Innehåller alla randpunkter.
- Begränsad mängd: Ryms inuti en öppen cirkelskiva med ändlig radie.
- Kompakt mängd: Är sluten & begränsad.
Föreläsning 2
Parameterkurvor
En parameterkurva är en kurva där koordinaterna styrs av en parameter: \(\bar r(t)=(x(t),y(t))\) eller \(\bar r(t)=(x(t),y(t),z(t))\)
Orienterad kurva: En kurva med en angiven riktning. T.ex. en parameterkurva \(\bar r(t)\) då \(t:a\to b\)
Riktningsvektor
En vektor som är parallell med tangentriktningen.
Singulär punkt: En punkt på parameterkurvan där \(\dot{\bar r}(t)=\bar0\). Här kan kurvan tvärt byta riktning.
Båglängd
En paramterkurva som är kontinuerligt deriverbar på \([a,b]\) har båglängd
Uttrycket \(ds=|\dot{\bar r}(t)|dt\) kallas för bågelementet.
Föreläsning 3
Funktioner
En funktion \(f:\mathbb R^m\to\mathbb R^n\) definierar, för varje \(\bar x\in D_f\), precis ett tal \(\bar y\in V_f\).
Reellvärd funktion: \(f:\mathbb R^m\to\mathbb R\) Vektorvärd funktion: \(f:\mathbb R^m\to\mathbb R^n,n\gt1\)
Funktionskurva: \(y=f(x)\) Funktionsyta: \(z=f(x,y)\)
Nivåkurva: En kurva i planet där \(f(x,y)=C\) för en bestämd konstant \(C\). Nivåyta: En yta i rummet där \(f(x,y,z)=C\) för en bestämd konstant \(C\).
Elementära funktioner
Elementära funktioner byggs upp genom sammansättning av enkla funktioner:
- \((x,y)\mapsto x+y\)
- \((x,y)\mapsto x-y\)
- \((x,y)\mapsto xy\)
- \((x,y)\mapsto \frac xy\)
- \((x,y)\mapsto \text{konstant}\)
- Exponential- och logaritmfunktioner
- Trigonometriska och cyklometriska funktioner
Inversfunktioner
Inversfunktionen till \(f:\mathbb R^m\to\mathbb R^n\) är den funktion \(f^{-1}:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) s.a.
Bijektiv (surjektiv och injektiv)\(\iff\)Inverterbar
Föreläsning 4
Om en funktion närmar sig \(\bar v\) i takt med att \(\bar x\to\bar w\), oavsett vilken väg man väljer till \(\bar w\), gäller att
Räkneregler
- \(\lim f(x,y)+g(x,y)=\lim f(x,y)+\lim g(x,y)\)
- \(\lim f(x,y)g(x,y)=\lim f(x,y)\cdot\lim g(x,y)\)
- \(\lim \frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{\lim f(x,y)}{\lim g(x,y)}\) om \(\lim g(x,y)\neq0\)
- \(\lim h(f(x,y))=h(\lim f(x,y))\) om \(h\) är kontinuerlig
Instängningsprincipen
Om \(g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\) i en omgivning till \((a,b)\) och \(g(x,y)\rarr c\larr h(x,y)\) när \((x,y)\to(a,b)\) så gäller att även
Polära & sfäriska koordinater
Gränsövergångarna \((x,y)\to(0,0)\) och \((x,y,z)\to(0,0,0)\) kan skrivas som \((r,\theta)\to(0,\text{ospec.})\) respektive \((r,\phi,\theta)\to(0,\text{ospec.},\text{ospec.})\).
Kontinuerliga funktioner
En funktion \(f(x,y)\) är kontinuerlig i \((a,b)\) omm:
Liksom generellt för gränsvärden med flera variabler måste detta gälla oavsett hur \((x,y)\to(a,b)\).
Om \(f,g\) är kontinuerliga funktioner är också \(f\circ g\) en kontinuerlig funktion.
De enkla funktionerna är kontinuerliga \(\implies\) Alla elementära funktioner är kontinuerliga.
Föreläsning 5
Derivata för reellvärda funktioner av en variabel
Partialderivata
För reellvärda funktioner av två variabler definieras partialderivatorna av \(f\) i punkten \((a,b)\) som
Tangentplan
En normal till tangentplanet till \(z=f(x,y)\) i \((a,b,f(a,b))\) ges av
Tangentplanet ges alltså av:
Högre ordningens partialderivator
För en reellvärd funktion \(f(x,y)\) definieras andra ordningens partialderivator i \((a,b)\) av:
Om \(f\) är 2 gånger kontinuerligt deriverbar i \((a,b)\) gäller att \(f''_{xy}(a,b)=f''_{yx}(a,b)\).
Kedjeregeln för reellvärda funktioner
En variabel
Låt \(t\mapsto x(t)\mapsto f(x(t))\). Om \(f(x)\) och \(x(t)\) är kontinuerligt deriverbara, är \(\frac{df}{dt}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt}=f'(x)x'(t)=f'(x(t))x'(t)\)
Flera variabler
Anta t.ex. \(t\mapsto\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\mapsto f(x(t),y(t))\)
\(\frac {df}{dt}=\frac {df}{dx}\frac{dx}{dt}+\frac{df}{dy}\frac{dy}{dt}=f'_x(x(t),y(t))x'(t)+f'_y(x(t),y(t))y'(t)\)
Variabelträd
Om vi har t.ex. \(f(x(s,t),y(s,t),z(s,u(t)))\), så kan vi rita ett variabelträd som visar hur uttrycket är uppbyggt:
För att nu bestämma exempelvis \(\frac{\partial}{\partial t}f(x(s,t),y(s,t),z(s,u(t)))\) hittar vi alla stigar från \(f\) till variabeln, \(t\):
Föreläsning 6
Linjär approximation
En variabel
\(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\)
Funktioner av två variabler
En funktion \(f(x,y)\) approximeras linjärt kring \((a,b)\) av dess tangentplan.
\(f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+f'_x(a,b)h+f'_y(a,b)k\)
Differentierbarhet
Differentierbara funktioner ser lokalt ut som linjära funktioner.
En variabel
Funktionen \(f(x)\) är differentierbar om
\(f(a+h)=(\text{linjär funktion i }h)+o(h)\), där \(\lim_{h\to0}\frac{o(h)}h=0\)
(dvs. när \(h\to0\) går felet i approximationen \(\to0\) snabbare än \(h\) självt)
Den linjära funktionen som approximerar funktionen lokalt måste vara tangentens ekvation.
Bevis: Antag att \(f(x)\) är differentierbar i \(x=a\).
Vi vet då att \(f(a+h)=kh+m+o(h)\).
Sätt in \(h=0\implies f(a)=m\)
Vi har att \(k=\frac{f(a+h)-m-o(h)}h\), och om vi låter \(h\to0\) får vi
\(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-m-o(h)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h-\lim_{h\to0}\frac{o(h)}h\\=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=f'(a)\).
\(\therefore f(a+h)=f'(a)h+f(a)+o(h)\)Exempel på icke-differentierbar funktion: \(f(x)=|x|\) i punkten \((0,0)\)
Vi vill hitta \(f(0+h)=a_0+a_1h+o(h)\)
\(f(0)=a_0+0a_1+0=0\implies a_0=f(0)=0\)
För att vara differentierbar i punkten måste
\(0=\lim_{h\to0}\frac{o(h)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-a_1h}h=\lim_{h\to0}\frac{|h|-a_1h}h=\lim_{h\to0}(\text{sgn}(h)-a_1)\)
\(a_1\) är en konstant (beror inte av \(h\)) \(\implies\) gränsvärdet existerar ej.
\(\therefore\) Inte differentierbar i (0, 0).
Funktioner av två variabler
Funktionen \(f(x,y)\) är differentierbar i \((a,b)\) om
\(f(a+h,b+k)=(\text{linjär funktion i }h,k)+o(r)\), s.a. \(\lim_{r\to0}\frac{o(r)}r\)
och \(r=|(h,k)|=\sqrt{h^2+k^2}\)
Den linjära funktionen som approximerar funktionen lokalt måste vara tangentplanens ekvation.
Bevis: Vi har \(f(a+h,b+k)=a_0+a_1h+a_2k+o(r)\)
\(f(a,b)=a_0\)
\(f(a+h,b)=f(a,b)+a_1h+o(h)\)
\(\implies\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}h=a_1+\lim_{h\to0}\frac{o(h)}h\implies f'_x(a,b)=a_1\)
Motsvarande kan göras för \(a_2\)...
Differentierbara funktioner
En deriverbar funktion är inte nödvändigtvis också differentierbar.
Viktig sats:
Om alla partialderivator är definierade i en omgivning till en punkt \(\bar x_0\) och är kontinuerliga i punkten \(\bar x_0\), så är funktionen differentierbar i denna punkt \(\bar x_0\).Härledning: Görs m.h.a. medelvärdessatsen.
Föreläsning 7
Repetition:
- Derivata för reellvärda funktioner av flera variabler
- Partialderivata: Derivera m.a.p. \(x\) eller \(y\)
- Kedjeregeln
- Linjär approximation
- Differentierbara funktioner: Funktioner som approximeras väl av sin linjära approximation.
Kontinuerliga partialderivator \(\implies\) differentierbar
Partialderivatorna anger hur mycket funktionsytan lutar i \(x\)- eller \(y\)-led.
Riktningsderivata
Vi undersöker istället funktionen utmed en viss enhetsriktning \(û=(c,d)\) i x, y-planet. Vi vill göra detta kring en punkt \((a,b)\). Linjen ges då av:
Utmed denna linje antar funktionen värden \(z=f(a+tc,b+td)\)
Obs! Gradientformeln gäller bara om funktionen är differentierbar i punkten (eftersom vi har använt kedjeregeln).
Exempel 2:
Beräkna riktningsderivatan av \(f(x,y)=x^2+y^2\) i punkten \((1,2)\) och i riktningen \(\vec v=(2,1)\).
För att ta fram gradientformeln ovan har vi använt kedjeregeln.
För att få använda kedjeregeln måste funktionen vara differentierbar.
\(f'_x=2x\\f'_y=2y\)
\(f'_x,f'_y\) är polynom
\(\implies\)de är elementära funktioner
\(\implies\)de är kontinuerliga i hela definitionsmängden (dvs. hela \(\mathbb R^2\))
\(\implies f\) är kontinuerligt deriverbar
\(\implies f\) är differentierbarGradientformeln ger
\(f'_{\vec v}(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \vec v=(2x,2y)\vert_{(x,y)=(1,2)}\cdot \frac{(2,1)}{|(2,1)|}=\frac8{\sqrt5}\)Övning 1:
Bestäm riktningsderivatan av \(f(x,y)=xy\) i punkten \((2,-1)\) och i riktningen \(\vec v=(3,4)\).
\(f'_x=y\) och \(f'_y=x\implies\)\(f\) är kontinuerligt deriverbar\(\implies\)differentierbar
Vi får då enligt gradientformeln
\(f'_{\vec v}=\nabla f(2,-1)\cdot\frac{(3,4)}{|(3,4)|}=(-1,2)\cdot\frac{(3,4)}5=\frac{5}{5}=1\)
Från linjär algebra:
Om vinkeln mellan vektorerna \(\vec u\) och \(\vec v\) är \(\theta\), så definieras
Med detta kan vi skriva:
Om vi då har en enhetsvektor \(\vec u\) som tangerar den aktuella nivåkurvan (dvs. "funktionsvärdet ändras inte") gäller att \(0=f'_{\vec u}=|\nabla f(a,b)|\cos\theta\).
När blir \(f'_{\vec u}\) som störst? När \(\theta=0\), dvs. då \(\vec u\) pekar i samma riktning som \(\nabla f(a,b)\).
Exempel 4: Temperaturen i ett rum ges av
\[T(x,y,z)=xy-x^2-z^2\]och du befinner dig i punkten \((1,1,3)\).
a) I vilken riktning ökar temperaturen som mest?
\(f'_x=y-2x\\f'_y=x\\f'_z=-2z\)
Alltså är \(f\) kontinuerligt deriverbar.
Temperaturen ökar som mest i riktningen ditåt \(T'_{\vec u}(1,1,3)\) är som störst.
Välj \(\vec u\) s.a. \(T'_{\vec u}(1,1,3)=|\nabla T(1,1,3)||\vec u|\cos\theta\)Gradientformeln ger slutligen
\[\nabla T(1,1,3)=(y-2x,x,-2z)\vert_{(x,y,z)=(1,1,3)}\\=(-1,1,-6)\]b) Ange en riktning vartåt temperaturökningen är noll.
T.ex. \((0,6,1)\)
Nivåkurvor
Ges av
där \(C\) är någon konstant
En nivåkurva \(f(x,y)=C\) har i en punkt \((a,b)\) på kurvan normalvektorn
Exempel: Låt \(f(x,y)=x^2y+xy^3-x+1\). Bestäm tangentlinjen till nivåkurvan för \(f\) genom punkten \((1,1)\).
\(f'_x=2xy+y^3-1\\f'_y=x^2+3xy^2\)
Dessa är kontinuerliga och alltså \(f\) differentierbar.
\(\nabla f(1,1)=\left.(2xy+y^3-1,x^2+3xy^2)\right\vert_{(x,y)=(1,1)}\\=(2,4)\)
För att beskriva en linje behöver vi
- en punkt på linjen: t.ex. \((1,1)\)
- en riktning \(\vec v\) för linjen: en normal är \(\nabla f(1,1)=(2,4)\)
Säg då t.ex. \(\vec v=(2,-1)\) ty \(\vec v\cdot\vec n=0\)
Svar: Linjen ges slutligen av \((x,y)=(1,1)+t(2,-1)\)
Singulära punkter
Om en nivåkurva \(f(x,y)=0\) har en punkt \((x_0,y_0)\) där
då kallas \((x_0,y_0)\) för en singulär punkt. I en sådan punkt kan kurvan tvärt byta riktning.
Övning 4:
Bestäm alla singulära punkter till nivåkurvan \(y^3+2x-x^2=1\).
\(\nabla f(x,y)=(2-2x,3y^2)=\vec0\)
\(2-2x=0\\3y^2=0\)
Vi får \(x=1\) och \(y=0\), som också visar sig ligga på nivåkurvan.
Svar: \((1,0)\)
Nivåytor
Ges av
där \(C\) är någon konstant.
Normal till nivåytor
En nivåyta \(f(x,y,z)=C\) har i en punkt \((a,b,c)\) på ytan normalvektorn
eftersom \((a,b,c)\) måste vara vinkelrät mot tangentplanet.
Exempel 6:
Visa att planet \(2x+2y-3z=2\) tangerar ytan \(2x^2+2y^2-3z^2=4\)
Låt\[f(x,y,z)=2x+2y-3z-2\\g(x,y,z)=2x^2+2y^2-3z^2-4\]Det ska finnas en tangeringspunkt \((a,b,c)\), dvs. en punkt som uppfyller
\(\begin{cases}2a+2b-3c=2\\2a^2+2b^2-3c^2=4\\\text{normalerna till planet och ytan är parallella}\end{cases}\)
dvs.
\(\nabla f(a,b,c)\parallel \nabla g(a,b,c)\)
dvs.
\(\nabla f(a,b,c)=\lambda \nabla g(a,b,c)\)
\((2,2,-3)=\lambda(4a,4b,-6c)\)Detta ger
\(a=b=c=\frac1{2\lambda}\)
vilket med ovan nämnda krav ger
\(a=b=c=2\).
Svar: Ja, och tangeringspunkten är \((a,b,c)=(2,2,2)\).
Föreläsning 8
Vektorvärda funktioner
Differentierbarhet: En funktion \(\bar f:(x,y)\to(u(x,y),v(x,y))\) är differentierbar om komponenterna \(u(x,y)\) och \(v(x,y)\) är det.
Om en vektorvärd funktion är differentierbar, gäller att:
\(\bar f(a+h,b+k)=\bar f(a,b)+\begin{pmatrix}u_x'(a,b)&u_y'(a,b)\\v_x'(a,b)&v_y'(a,b)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}+o(r)\)
Geometriskt betyder detta att en differentierbar funktion lokalt ser ut som en linjär avbildning med matrisen
Detta kallas för jakobianen till \(f\).
Kedjeregeln för vektorvärda funktioner
Detta eftersom avbildningarna \((s,t)\mapsto(x,y)\) och \((x,y)\mapsto(u,v)\) approximeras väl av de linjära avbildningarna med matris \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\) respektive \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\).
Observera ordningen vid matrismultiplikation.
Allmänna kedjeregeln
För en allmän sammansättning \(\begin{pmatrix}x_1\\\cdots\\x_m\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}y_1\\\cdots\\y_n\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}z_1\\\cdots\\z_p\end{pmatrix}\) gäller att
Inversfunktionens jakobian
Inversfunktionen \(f^{-1}:\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) avbildar utvärden \(u,v\) tillbaka till motsvarande invärden \(x,y\). Dess jakobian är:
Detta eftersom inversen av en linjär avbildning (förutsatt inverterbarhet) ges av den inverterade avbildningsmatrisen.
Repetition: Invertera 2x2-matriser
\[A^{-1}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac1{\det A}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\]
Transformation av differentialuttryck
Med kedjeregeln kan en funktions partialderivator uttryckas i olika koordinatsystem.
Första ordningens uttryck: Om \(\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases}\) där \((u,v)\) är koordinaterna i ett annat koordinatsystem, gäller att \(f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))\). Detta ger (med kedjeregeln) ett samband mellan \((f_u',f_v')\) och \((f_x',f_y')\):
Föreläsning 9
Vektorfält
Viktigt i fysik. T.ex. tyngdkraftfält:
Fältlinjer: En kurva i planet (eller rummet) som följer med vektorfältet. Dvs. en kurva som, i varje punkt på kurvan, har samma riktning som vektorfältet.
En kontinuerligt deriverbar parameterkurva \(\bar r=\bar r(t)\) är en fältlinje till ett kontinuerligt deriverbart vektorfält \(\bar F=\bar F(\bar r)\) om riktningsvektorn \(\dot{\bar r}(t)\) är parallell med \(\bar F(\bar r(t))\).
Exempel: Bestäm fältlinjen till vektorfältet \(\bar F(x,y)=(-y,x)\) som passerar punkten \((1,2)\).
Vi söker \((x,y)=(x(t),y(t))\) så att \((\dot x,\dot y))\parallel \bar F(x,y)=(-y,x)\).
\(\iff(\dot x,\dot y)=\lambda(t)(-y,x)\) där \(\lambda\) beror av \(t\) eftersom faktorn inte behöver vara konstant.
\(\iff\begin{cases}\dot x(t)=-\lambda(t)y(t)\\\dot y(t)=\lambda(t)x(t)\end{cases}\)
\(\iff\begin{cases}\dot xx=-\lambda(t)yx\\\dot yy=\lambda(t)xy\end{cases}\)
\(\iff\dot xx+\dot yy=0\)Obs! \(2\dot xx=\frac d{dt}x^2\implies\dot xx=\frac12\frac d{dt}x^2\)
\(\implies\frac d{dt}(x(t)^2+y(t)^2)=0\)
\(\implies x(t)^2+y(t)^2=C\)
Vi ser nu att fältlinjen är en cirkel kring origo med radie \(\sqrt C\) som går genom punkten \((1,2)\).
Alltså \(1^2+2^2=5=C\)
Svar: Fältlinjen är en cirkel med medelpunkt i origo och radie \(\sqrt5\).
Arbete
Arbete: \(W=\bar F\cdot\Delta\bar r\)
eftersom endast kraften i riktning \(\Delta\bar r\) är viktig, och denna är projektionen på \(\Delta\bar r\):\[\bar F_\parallel=\text{proj}_{\Delta\bar r}\ \bar F=\frac{\bar F\cdot\Delta\bar r}{|\Delta\bar r|^2}\Delta\bar r\implies|\bar F_\parallel|=\frac{\bar F\cdot\Delta\bar r}{|\Delta\bar r|}\\\implies W=|\bar F_\parallel||\Delta\bar r|=\bar F\cdot\Delta\bar r\]Exempel: Bestäm det arbete som kraftfältet \(\bar F=(1,1)\) utför på en partikel som rör sig \(\Delta\bar r=(5,0)\).
Svar: \(W=\bar F\cdot\Delta\bar r=(1,1)\cdot(5,0)=5\)
I exemplen ovan antogs kraften vara konstant och rörelsen vara likformig.
Mer generellt kan arbetet som ett kraftfält \(\bar F(\bar r)\) utför på en partikel som rör sig längs den riktade kurvan \(\bar r(t)=(x(t),y(t))\), där \(t:a\to b\) beskrivas av
Kurvintegral
Om \(\bar F=\bar F(\bar r)\) är ett kontinuerligt vektorfält och \(\gamma\) är en riktad kontinuerligt deriverbar kurva, så definieras kurvintegralen som
Vektoriellt bågelement: Uttrycket \(d\bar r=\frac {d\bar r}{dt}dt=\dot{\bar r}(t)dt\) kallas för den vektoriella bågelementet.
Kurvintegraler i skalär form
Om vi sätter \(\bar F=(P(x,y),Q(x,y))\) och \(d\bar r=(dx,dy)\) kan kurvintegralen även skrivas som
I rummet får vi istället
Övning: Avläs vektorfältet \(\bar F\) från kurvintegralerna.
a) \(\int_\gamma xy^2dx-ydy\)
\(\bar F(\bar r)=(xy^2,-y)\)
b) \(\int_\gamma dy-xdx\)
\(\bar F(\bar r)=(-x,1)\)
c) \(\int_\gamma xydy\)
\(\bar F(\bar r)=(0,xy)\)Exempel: Beräkna \(\int_\gamma xydx+x^2dy\) där \(\gamma\) är parabeln \(x=2y^2,-1\leq y\leq1\).
Kurvan kan parametriseras \(\begin{cases}x=2t^2\\y=t\end{cases},t:-1\to1\) vilket ger
\(\bar F=(xy,x^2)=(2t^3,4t^4)\) och \(d\bar r=\frac{d\bar r}{dt}dt=(4t,1)dt\).\[\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r=\int_{-1}^1(2t^3,4t^4)\cdot(4t,1)dt=\int_{-1}^112t^4dt=12\left[\frac{t^5}5\right]_{-1}^1=\frac{24}5\]Exempel: Beräkna \(\int_\gamma(2x-y)dx+(-x+2y)dy+(2x-z)dz\) där \(\gamma\) är linjestycket
\(\bar r=(0,2,2)+t(2,-1,-2)\iff\begin{cases}x=2t\\y=2-t\\z=2-2t\end{cases}\text{då }t:0\to1\)
Vi beräknar slutligen:
\(\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r=\int_0^1(2(2t)-(2-t),-(2t)+2(2-t),2(2t)-(2-2t))\cdot\frac{d\bar r}{dt}dt\\=\int_0^1(5t-2,4-4t,6t-2)\cdot(2,-1,-2)dt=\int_0^1(2t-4)dt=\left[t^2-4t\right]_0^1=-3\)
Svar: \(-3\)
Räkneregler
Om \(\bar F,\bar G\) är kontinuerliga vektorfält, \(a,b\) är konstanter, och \(\gamma_1,\gamma_2\) är kontinuerligt deriverbara riktade kurvor, så är
- \(\int_{\gamma_1+\gamma_2}\bar F\cdot d\bar r=\int_{\gamma_1}\bar F\cdot d\bar r+\int_{\gamma_2}\bar F\cdot d\bar r\)
- \(\int_{-\gamma_1}\bar F\cdot d\bar r=-\int_{\gamma_1}\bar F\cdot d\bar r\)
- \(\int_{\gamma_1}(a\bar F+b\bar G)\cdot d\bar r=a\int_{\gamma_1}\bar F\cdot d\bar r+b\int_{\gamma_1}\bar G\cdot d\bar r\)
Exempel: Beräkna \(\int_\gamma xdy\) där \(\gamma\) är halvcirkeln medurs ovanför \(x\)-axeln med radien \(1\), samt den räta linjen från \((1,0)\) till \((-1,0)\).
En parametrisering av halvcirkeln är \(\begin{cases}x=\cos t\\y=\sin t\end{cases},t:\pi\to0\)
\(\int_\gamma xdy=\int_\gamma(0,x)\cdot d\bar r=\int_\pi^0(0,\cos t)\cdot (-\sin t,\cos t)dt+\int_1^{-1}(0,t)\cdot (1,0)dt\\=\int_\pi^0\cos^2(t)dt+\int_1^{-1}0dt=\left\{\cos(2t)=\cos^2t-\sin^2t\right\}=\int_\pi^0\frac{1+\cos(2t)}2dt\\=\frac12\left[t+\frac{\sin(2t)}2\right]_\pi^0=-\frac\pi2\)Svar: \(-\frac\pi2\)
Föreläsning 10
Topologiska begrepp
- Ett område är sammanhängande om varje par av punkter kan förbindas av en kurva som ligger helt i området.
- Ett område är enkelt sammanhängande om det är sammanhängande, samt varje sluten kurva i området, utan att lämna området, kan deformeras till en punkt.
Konservativa vektorfält
Definition: Ett konservativt vektorfält är ett vektorfält som är förändringsfältet till en underliggande skalär storhet U, dvs. \(\bar F=\nabla U\). Storheten \(U\) kallas för en potential till vektorfältet.
Exempel: Tyngdkraftfältet är konservativt, med den potentiella energin som potential.
Exempel: Bestäm en potential till det konservativa vektorfältet \(\bar F=(y^3+3x^2y^2,3xy^2+2x^3y)\).
Dvs. vi söker \(U\) s.a. \(\nabla U=\bar F\).
Vi vet att \(\frac\partial{\partial x}U=y^3+3x^2y^2\) och \(\frac\partial{\partial y}U=3xy^2+2x^3y\).
Då är \(U=xy^3+x^3y^2+C_1(y)\) och \(U=xy^3+x^3y^2+C_2(x)\).
Vi har \(U=xy^3+x^3y^2+C\) där \(C\) är ett tal, t.ex. \(C=0\).
Svar: T.ex. \(U=xy^3+x^3y^2\)
Potentialformeln
Om \(\bar F\) är ett konservativt vektorfält med potential \(U\), och \(\gamma\) är en riktad kurva från \((x_0,y_0)\) till \((x_1,y_1)\), så är
Härledning: Vi tar ett konservativt vektorfält \(\bar F=\nabla U=\left(\frac\partial{\partial x}U,\frac\partial{\partial y}U\right)\) och en kurva \(\gamma\) från \((x_0,y_0)\) till \((x_1,y_1)\). \(\gamma\) kan parametriseras som \(\bar r(t)=(x(t),y(t)),\ t:a\to b\) vilket ger \(d\bar r=(\dot x,\dot y)dt\) Kurvintegralen blir
\[\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r=\int_a^b\left(\frac\partial{\partial x}U,\frac\partial{\partial y}U\right)\cdot(\dot x,\dot y)dt=\int_a^b\left(\frac{\partial U}{\partial x}\dot x+\frac{\partial U}{\partial y}\dot y\right)dt\\=\int_a^b\frac d{dt}U(x(t),y(t))dt=\left[U(x(t),y(t))\right]_a^b=U(x(b),y(b))-U(x(a),y(a))\\=U(x_1,y_1)-U(x_0,y_0)\]Notera att kurvintegralens värde alltså är oberoende av kurvans form, utan bara beror på start- och slutpunkterna.
Övning: Det konservativa fältet \(\bar F=(2x-y,-x)\) har potentialen \(U=x^2-xy\). Bestäm \(\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r\) för kurvorna nedan.
a) En kurva från \((1,2)\) till \((4,6)\).
Vi vet att \(\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r=U(4,6)-U(1,2)=-7\)
b) En kurva från \((4,6)\) till \((1,2)\).
\(\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r=U(1,2)-U(4,6)=7\)
c) Ett cirkelvarv.
\(\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r=U(x_0,y_0)-U(x_0,y_0)=0\) (då start- och slutpunkterna är desamma, t.ex. \((x_0,y_0)\))Exempel: Beräkna kurvintegralen \(\int_\gamma(y^3+3x^2y^2)dx+(3xy^2+2x^3y)dy\) där \(\gamma\) är kvartscirkelbågen från \((0,-2)\) till \((-2,0)\) med medelpunkt i origo.
Enligt tidigare exempel är vektorfältet \(\bar F=\nabla U\) där \(U=xy^3+x^3y^2\) är dess potential.
Alltså\[\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r=U(-2,0)-U(0,-2)=0\]Svar: \(0\)
Villkor för konservativt fält
Ett nödvändigt villkor för att ett kontinuerligt deriverbart vektorfält är konservativt är att dess jakobian är symmetrisk, dvs.
Obs!
Om vektorfältets definitionsområde dessutom är enkelt sammanhängande gäller även det omvända.Bevis: Om \(\bar F\) är konservativt så gäller att \(\bar F=\nabla U=(U_x',U_y')\), och eftersom \(U_{xy}''=U_{yx}''\) är då
\[\frac{\partial\bar F}{\partial(x,y)}=\frac{\partial(U_x',U_y')}{\partial(x,y)}=\begin{pmatrix}U_{xx}''&U_{xy}''\\U_{yx}''&U_{yy}''\end{pmatrix}\]symmetrisk.
Övning: Undersök vilka vektorfält som är konservativa med hjälp av funktionalmatrisen (jakobianen):
a) \(\bar F=(2x\ln y,x^2/y)\) i området \(\{(x,y):y\gt0\}\)
Vi beräknar \(\frac{\partial\bar F}{\partial(x,y)}=\begin{pmatrix}2\ln y&\frac{2x}y\\\frac{2x}y&-\frac{x^2}{y^2}\end{pmatrix}\). Området är också enkelt sammanhängande. \(\therefore\) Konservativt fältb) \(\bar F=(x\ln(x^2+y^2),y\ln(x^2+y^2))\) i området \(\{(x,y):(x,y)\neq(0,0)\}\)
Inte enkelt sammanhängande\(\implies\)ingen slutsats.c) \(\bar F=(2xy,x^2+2yz,y^2-2z\) i hela \(\mathbb R^3\).
\(\frac{\partial\bar F}{\partial(x,y,z)}=\begin{pmatrix}*&2x&0\\2x&*&2y\\0&2y&*\end{pmatrix}\)
Matrisen är symmetrisk, och området är enkelt sammanhängande\(\implies\)fältet är konservativtd) \(\bar F=(2xy,x^2+2yz,y^2-2z)\) i området \(\{(x,y,z):1\lt x^2+y^2\}\).
Området är hela \(\mathbb R^3\), minus en cylinder.
Jakobianen är symmetrisk (uppgift c), men området är inte enkelt sammanhängande.
Trots detta är vektorfältet konservativt, eftersom vi vet att det är konservativt i hela \(\mathbb R^3\).Exempel: Beräkna \(\int_\gamma2xydx+(x^2+2yz)dy+(y^2-2z)dz\) där \(\gamma\) är kurvan \(\bar r(t)=(\cos t,\sin t,t)\) från \((1,0,0)\) till \((-1,0,\pi)\).
Vi vet från tidigare att detta vektorfält är konservativt, dvs. \(\bar F=\nabla U\).
\(\frac\partial{\partial x}U=2xy,\ \frac\partial{\partial y}U=x^2+2yz,\ \frac\partial{\partial z}U=y^2-2z\)
\(\implies U=x^2y+C_1(y,z)=x^2y+y^2z+C_2(x,z)=y^2z-z^2+C_3(x,y)\\=x^2y+y^2z-z^2+C\)
\(\int_\gamma(2xy,x^2+2yz,y^2-2z)\cdot d\bar r=U(-1,0,\pi)-U(1,0,0)=-\pi^2\)
Svar: \(-\pi^2\)Exempel: Beräkna \(\int_\gamma(3y+2\sin(2x-y))dx+(3x-\sin(2x-y))dy\) längs parabeln \(y=2x^2\) från \((0,0)\) till \((1,2)\).
\(\int_\gamma(3y+2\sin(2x-y),3x-\sin(2x-y))\cdot(dx,dy)\)
Först undersöker vi om \(\bar F\) är konservativt, genom att beräkna jakobianen:\[\frac{\partial\bar F}{\partial(x,y)}=\begin{pmatrix}4\cos(2x-y)&3-2\cos(2x-y)\\3-2\cos(2x-y)&\cos(2x-y)\end{pmatrix}\]Jakobianen är alltså symmetrisk. \(\bar F\) är definierat i hela \(\mathbb R^2\) (som är ett enkelt sammanhängande.
\(\implies\) Vektorfältet är konservativt.Vi kan nu beräkna integralen som ändringen i potential.
I detta fall väljer vi dock att istället byta kurva (ok eftersom fältet är konservativt) till:\[\gamma^*:(x,y)=\bar r(t)=(t,2t),\ t:0\to1\]Vi beräknar sedan \(\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r=\int_{\gamma^*}\bar F\cdot d\bar r=\int_0^1\bar F(\bar r(t))\cdot\frac{d\bar r}{dt}dt\\=\int_0^1(6t+2\sin(2t-2t),3t-\sin(2t-2t))\cdot(1,2)dt=\int_0^1(6t,3t)\cdot(1,2)dt=\int_0^112tdt\\=[6t^2]_0^1=6\)
Svar: \(6\)
Sammanfattning: För konservativa vektorfält i något område gäller att
- Kurvan \(\gamma\) i området påverkar inte \(\int_\gamma\bar F\cdot d\bar r\). Kurvintegralen beror endast på start- och slutpunkt.
- \(\oint_\gamma\bar F\cdot d\bar r=0\) (integral över sluten kurva) för alla slutna kurvor \(\gamma\) i området.
- Jakobianen \(\frac{\partial\bar F}{\partial\bar x}\) är symmetrisk i området.
Dessa 3 är ekvivalenta för sammanhängande områden, utom \(2\implies3\). \(2\iff3\) endast om området är enkelt sammanhängande.
Föreläsning 11
Kvadratkomplettering
Kvadratisk form: Ett andragradsuttryck som bara innehåller andragradstermer.
En kvadratisk form kan skrivas som en summa av kvadrater med kvadratkomplettering:
\(2x^2-2xy+2y^2-2yz+z^2=2(x-\frac y2)^2-2\frac {y^2}{2^2}+2y^2-2yz+z^2\\=2(x-\frac y2)^2+\frac{3y^2}2-2yz+z^2=2(x-\frac y2)^2+\frac 32(y-\frac23z)^2-\frac23z^2+z^2\\=2(x-\frac y2)^2+\frac 32(y-\frac{2z}3)^2+\frac{z^2}3\)
Tecken
En kvadratisk form i variablerna \(x_1,\dots,x_n\) sägs vara...
- Positivt definit om den antar positiva värden
- Positivt semidefinit om den antar ickenegativa värden
- Indefinit om den antar båda positiva och negativa värden
- Negativt semidefinit om den antar ickepositiva värden
- Negativt definit om den antar negativa värden
...för alla \(\bar x\neq\bar0\).
Kvadratisk approximation
En variabel
Två gånger differentierbara funktioner (dvs. funktion och dess derivata är båda differentierbara) i en punkt approximeras väl av kvadratiska funktioner:
Litet ordo \(f(x)\in o(g(x))\) när \(x\to n\) betyder att \(f\leq Cg\) där, för någon konstant \(C\).
Stort ordo: \(f(x)\in\mathcal O(g(x))\) betyder att \(f\) växer högst lika snabbt som \(g\).
För en god kvadratisk approximation ska det gälla att \(o(h^2)\)-termen \(\leq Ch^2\) när \(h\to0\).
För att uppfylla detta krav måste approximationen \(f(a+h)=a_0+a_1h+a_2h^2+o(h^2)\) uppfylla följande
För att få \(\frac{o(h^2)}{h^2}\to0\) när \(h\to0\) måste den kvadratiska approximationen alltså ha följande form:
Övning: Bestäm den kvadratiska approximationen i \(x=1\) av \(f(x)=2\sqrt x\).
\(f(1+h)\approx f(1)+f'(1)h+\frac12f''(1)h^2=2+h-\frac12h^2\)
Två variabler
En funktion \(f(x,y)\) är två gånger differentierbar i \((a,b)\) om \(f(x,y),f_x'(x,y),f_y'(x,y)\) är differentierbara i punkten. En sådan funktion kan approximeras väl av en kvadratisk funktion:
där \(\frac{o(r^2)}{r^2}\to0\) när \(r\to0\) och \(r=|(h,k)|\).
Feltermen i linjära approximationer är alltså \(o(r)=a_3h^2+a_4hk+a_5k^2+o(r^2)\).
En funktion \(f(x,y)\) approximeras kvadratiskt kring \((x,y)=(a,b)\) av dess taylorpolynom av grad 2.
Obs! Kom ihåg att då \(f\) är två gånger kontinuerligt deriverbar är \(\frac{\partial f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y\partial x}\).
Exempel: Bestäm den kvadratiska approximationen i \((2,4)\) av \(f(x,y)=e^{x^2-y}\).
\(f(2+h,4+k)\approx f(2,4)+\frac{\partial f}{\partial x}(2,4)h+\frac{\partial f}{\partial y}(2,4)k\\+\frac12\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(a,b)h^2+\frac{\partial f^2}{\partial x\partial y}(a,b)hk+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(a,b)hk+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(a,b)k^2\right)\\=1+4h-k+9h^2-4hk+\frac{k^2}2\)Obs! Det räcker att funktionen är två gånger kontinuerligt deriverbar i en omgivning, eftersom detta medför att den också är två gånger differentierbar där.
Om \(f(x,y)\) är två gånger kontinuerligt deriverbar i en omgivning till \((a,b)\) kan feltermen bestämmas:\[f(a+h,b+k)=f(a,b)+f_x'(a,b)h+f_y'(a,b)k\\+\frac12f_{xx}''(a,b)h^2+f_{xy}''(a,b)hk+\frac12f_{yy}''(a,b)k^2\\+\ \boxed{\frac12(f_{xx}''(\xi,\eta)-f_{xx}''(a,b))h^2+(f_{xy}''(\xi,\eta)-f_{xy}''(a,b))hk+\frac12(f_{yy}''(\xi,\eta)-f_{yy}''(a,b))k^2}\]där \((\xi,\eta)\) ligger på den räta linjen \((a,b)\to(a+h,b+k)\).
Observera:
När \((h,k)\to\bar0\) kommer feltermen, enligt uttrycket ovan, gå snabbare \(\to0\) än övriga termer (eftersom andraderivatorna är kontinuerliga funktioner och koefficienterna i feltermen därmed alla \(\to0\)).
Dvs. \(\frac{o(r^2)}{r^2}\to0\) när \(r\to0\).
Vi kan av detta dra slutsatsen att\[\text{2 ggr kontinuerligt deriverbar i en punkt }\implies\text{ 2 ggr differentierbar där}\]
Entydighetssatsen
Om en funktion \(f(x,y)\) kan skrivas som
där \(\frac{o(r^2)}{r^2}\to0\) då \(r\to0\), så är andragradsfunktionen alltid andra gradens taylorpolynom kring \((a,b)\), oavsett hur vi har fått fram approximationsformeln.
Exempel: Ta funktionen \(f(x,y)=\ln(1+x+y^2)\). Kvadratisk approximation kring \((0,0)\): \(f(0+h,0+k)=\ln(1+h+k^2)=\{t=h+k^2\}=\ln(1+t)=t-\frac{t^2}2+\mathcal O(t^3)\\=h+k^2-\frac12(h^2+2hk^2+k^4)+\mathcal O(r^3)=\{\text{termerna }hk^2,k^4\text{ är av grad}\geq3\}\\=h+k^2-\frac{h^2}2+\mathcal O(r^3)\) Entydighetssatsen ger att detta är den kvadratiska approximationen.
Övning: Bestäm taylorutvecklingen av ordning 2 för a) \(f(x,y)=\cos(x+y)\) kring \((0,0)\) \(f(0+h,0+k)=\cos(h+k)=\{t=h+k\}=\cos(t)=1-\frac12t^2+\mathcal O(t^4)\\=1-\frac12(h+k)^2+\mathcal O(r^3)=1-\frac{h^2}2-hk-\frac{k^2}2+\mathcal O(r^3)\)
b) \(f(x,y)=e^{xy}\) kring \((0,2)\) \(f(0+h,2+k)=e^{h(2+k)}=\{t=2h+hk\}=e^t=1+t+\frac{t^2}2+\mathcal O(t^3)\\=1+h(2+k)+\frac{4h^2}2+\frac{4h^2k}2+\frac{h^2k^2}2+\mathcal O(r^3)=\{\text{termer av ordning }\geq3\text{ låts ingå i }\mathcal O(r^3)\}\\=1+2h+kh+2h^2+\mathcal O(r^3)\)
Taylors formel i matrisform
Matrisen med andraderivator kallas för hessianen och betecknas \(H_f(a,b)\).
Övning: Skriv i matrisform
\[f(1+h,2+k)=4+\begin{pmatrix}-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}h&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&-4\\-4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}+o(r^2)\]Skriv utan matriser
\[f(0+h,0+k)=3+\begin{pmatrix}2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}h&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}+o(r^2)\\=3+2h-k+\frac32h^2+hk-k^2+o(r^2)\]
I tre variabler
Föreläsning 12
Implicita funktioner
Implicita funktioner definieras som lösningar till en eller flera ekvationer.
En kurva \(f(x,y)=0\) definierar lokalt en funktion \(y=y(x)\) kring en punkt \((x,y)=(a,b)\) på kurvan, om det finns en omgivning inom vilken kurvan, för varje värde på \(x\), har ett unikt \(y\).
Implicita funktionssatsen: Om \(f(x,y)\) är kontinuerligt deriverbar definierar nivåkurvan \(f(x,y)=0\) lokalt värdet \(y\) som en kontinuerligt deriverbar funktion av \(x\) om
\[\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\neq0\]Detta eftersom nivåkurvans tangentlinje inte får vara lodrät.
Övning: Undersök om \(e^{xy}+x+y=2\) i en omgivning till \((1,0)\) definierar en kontinuerligt deriverbar funktion \(y=y(x)\). Låt \(f(x,y)=e^{xy}+x+y-2\). Kurvan beskrivs då av \(f(x,y)=0\). \(\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=xe^{xy}+1=2\neq0\)
Övning: Bestäm \(y'(1)\) för funktionen ovan. \(\frac\partial{\partial x}(e^{xy(x)}+x+y(x))=\frac\partial{\partial x}2\) \((y(x)+xy'(x))e^{xy(x)}+1+y'(x)=0\) Insättning av \((x,y)=(1,0)\) ger \(y'(1)=-\frac12\)
Notera att den implicit definierade funktionen \(y=y(x)\) bara är garanterad att finns i en omgivning, dvs. inte globalt.
Om \(\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=0\) kan ingen slutsats dras om huruvida en kontinuerligt deriverbar \(y(x)\) lokalt existerar.
Lamberts W-funktion
Exempel: Visa att \(W(x)\) är en kontinuerligt deriverbar funktion. Låt \(f(x,w)=we^w-x\). Kurvan ges då av \(f(x,w)=0\). Om (1) \(f\) kontinuerligt deriverbar & (2) \(\frac{\partial f}{\partial w}\neq0\implies w=W(x)\) kontinuerligt deriverbar (lokalt). (1) \(f_x'=-1,f_w'=e^w+we^w\implies f\) är kontinuerligt deriverbar (2) \(\frac{\partial f}{\partial w}=(1+w)e^w\neq0\) om \(w\neq-1\implies x\neq-\frac1e\) Alltså är \(W(x)\) en kontinuerligt deriverbar funktion.
Övning: Använd W-funktionen för att lösa a) \(xe^x=2\iff W(2)e^{W(2)}=2\iff x=W(2)\) b) \(x\ln(x)=1.25\iff te^t=1.25\iff t=W(1.25)\iff x=e^{W(1.25)}\) c) \(x^x=4\iff x\ln x=\ln4\iff te^t=\ln4\iff{t=W(\ln4)\iff e^{W(\ln4)}}\) d) \(x2^x=5\iff \ln(2)xe^{x\ln2}=5\ln(2)\iff x=\frac{W(5\ln2)}{\ln2}\)
Exempel: Beräkna ett approximativt värde av \(W(0.01)\). Vi söker lösning till \(W(0.01)e^{W(0.01)}=0.01\). Vi vet \(W(0)=0\) och gör nu linjär approximation. \(W(0+h)\approx W(0)+W'(0)h=W'(0)h\) Låt \(f(x,w)=we^w-x\). Kurvan \(w=W(x)\) ges av \(f(x,w)=0\). Vi deriverar m.a.p. \(x\): \(W(x)e^{W(x)}+W'(x)e^{W(x)}-1=0\implies W'(0)=1\) Svar: \(W(0+0.01)\approx0.01\)
Samband mellan 3 variabler
Om \(f\) är kontinuerligt deriverbar så definierar ekvationen \(f(x,y,z)=0\) en kontinuerligt deriverbar funktion \(z(x,y)\) lokalt kring \((a,b,c)\) om
Exempel: Visa att sambandet \(3xyz-z^3=0\) definierar \(z=z(x,y)\) som en kontinuerligt deriverbar funktion kring \((1,3,2)\). Bestäm \(z_x'(1,3)\) och \(z_y'(1,3)\). Låt \(f(x,y,z)=3xyz-z^3=0\). Funktionen är kontinuerligt deriverbar. \(\frac{\partial f}{\partial z}(1,3,2)=3xy-3z^2=9-12=-3\neq0\\\implies\)Lokalt ges alltså \(z\) av en kontinuerligt deriverbar funktion \(z(x,y)\).
Vi deriverar det implicita sambandet m.a.p. \(x\): \(3yz(x,y)+3xyz_x'(x,y)-3(z(x,y))^2z_x'(x,y)=0\\18+9z'(1,3)-12z'(1,3)=0\implies z'_x(1,3)=6\)
Och gör motsvarande för \(y\): \(3xz(x,y)+3xyz_y'(x,y)-3(z(1,3))^2z_y'(1,3)=0\\6+9z_y'(1,3)-12z_y'(1,3)=0\implies z_y'(1,3)=2\) Svar: 6 resp. 2
Lösningar till linjära ekvationssystem
Ett kvadratiskt system har exakt en lösning omm \(\det A\neq0\).
I denna kurs är vi intresserade av ekvationssystem där vi har fler obekanta än ekvationer.
Ett linjärt ekvationssystem med \(m\) ekvationer och \(m+n\) obekanta
har en parameterlösning \(\bar x=\bar x(\bar y)\), dvs. en parameterlösning för \(x_1,\dots,x_m\) där \(y_1,\dots,y_n\) är parametrar, omm
Övning: Ange ett villkor för om systemet
\[\begin{cases}\begin{matrix*}[l]2x&+y&-z&+2u&-5v&+3w=0\\-x&+3y&+z&-u&+3v&+w=0\\2x&-y&+2z&&+v&+2w=0\end{matrix*}\end{cases}\]har en parameterlösning där \(\bar t=(y,u,v)\) är parametrar.
Vi tänker oss att vi flyttar parameter-variablerna till höger om likhetstecknen. Koefficienterna framför våra sökta variabler ställs upp i en matris. Vi kan lösa ut de sökta variablerna \(x,z,w\) som funktioner av \(y,u,v\) om determinanten är nollskild:
\[\begin{vmatrix}2&-1&3\\-1&1&1\\2&2&2\end{vmatrix}\neq0\]Svar: Determinanten blir \(2\begin{vmatrix}1&1\\2&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1&1\\2&2\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}-1&1\\2&2\end{vmatrix}=-16\implies\)Möjligt!
Implicita funktionssatsen
Två samband mellan tre variabler
Om vi har sambanden \(\begin{cases}f(x,y,z)=0\\g(x,y,z)=0\end{cases}\) och dessa är kontinuerligt deriverbara, så ges \(x\) och \(y\) som kontinuerligt deriverbara funktioner av \(z\) kring någon punkt (som uppfyller sambanden) om
Härledning:
Kring en punkt \((a,b,c)\) gäller enligt linjär approximation:
\(\begin{cases}f(a,b,c)+f_x'(a,b,c)h+f_y'(a,b,c)k+f_z'(a,b,c)l+\text{fel}=0\\g(a,b,c)+g_x'(a,b,c)h+g_y'(a,b,c)k+g_z'(a,b,c)l+\text{fel}=0\end{cases}\)Enligt vad vi såg tidigare gäller att \(h,k\) kan lösas ut som funktioner av \(l\) om
\[\begin{vmatrix}f_x'(a,b,c)&f_y'(a,b,c)\\g_x'(a,b,c)&g_y'(a,b,c)\end{vmatrix}\neq0\]Exempel: Visa att sambanden \(\begin{cases}2e^x-e^y-e^z=0\\xyz-1=0\end{cases}\) definierar kontinuerligt deriverbara funktioner \(x=x(z),y=y(z)\) kring \((1,1,1)\).
Sambanden kan skrivas som som \(f=0,g=0\) där dessa är kontinuerligt deriverbara. Med linjär approx.:
\(\begin{cases}f(1,1,1)+f_x'(1,1,1)h+f_y'(1,1,1)k+f_z'(1,1,1)l+\text{fel}=0\\g(1,1,1)+g_x'(1,1,1)h+g_y'(1,1,1)k+g_z'(1,1,1)l+\text{fel}=0\end{cases}\)
Vi beräknar \(\begin{vmatrix}f_x'(1,1,1)&f_y'(1,1,1)\\g_x'(1,1,1)&g_y'(1,1,1)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2e&-e\\1&1\end{vmatrix}=3e\neq0\\\implies x(z),y(z)\) kontinuerligt deriverbara funktioner av \(z\).
Allmänna fallet
Om vi har sambanden \(\begin{cases}f_1(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)=0\\\cdots\\ f_m(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)=0\end{cases}\) där \(f_1,\dots,f_m\) är kontinuerligt deriverbara, så definieras \(x_1,\dots,x_m\) som kontinuerligt deriverbara funktioner av \(y_1,\dots,y_n\) lokalt kring en punkt \((a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n)\), som uppfyller sambanden, om
Lokal inverterbarhet
En funktion \(f\) är lokalt inverterbar om en inversfunktion existerar när definitionsmängden begränsas till en omgivning.
Inversa funktionssatsen
En kontinuerligt deriverbar funktion \(\bar f\) ser lokalt ut som en linjär avbildning med matrisen \(J_{\bar f}\).
Om denna matris är inverterbar, dvs. \(\det{J_{\bar f}}\neq0\), så är \(\bar f\) lokalt inverterbar kring linjäriseringspunkten.
Exempel: Systemet \(\begin{cases}e^x+xy+e^y=2\\x^3-x+y+y^3=0\end{cases}\) har en lösning \((0,0)\). Visa att det, i en tillräckligt liten omgivning, inte finns någon annan lösning. Vi inför \(\bar f:\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}e^x+xy+e^y\\x^3-x+y+y^3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}\) Vi vill att \(\bar f\) är lokalt inverterbar kring \((0,0)\). Approximering ger ekvationen \((2,0)=\bar f(0+h,0+k)\approx\bar f(0,0)+\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}(0,0)\begin{bmatrix}h\\k\end{bmatrix}\) För att unik lösning ska finnas måste \(\begin{vmatrix}e^x+y&x+e^y\\3x^2-1&1+3y^2\end{vmatrix}=\{x=y=0\}=2\neq0\) Dvs. \((0,0)\) är en unik lösning i någon omgivning.
Övning: Visa att \(\bar f:(x,y)\mapsto(xy,\ln\frac xy)\) har en differentierbar lokal invers kring punkten \((1,1)\). \(\bar f(1+h,1+k)\approx(1,0)+\begin{pmatrix}y&x\\1/x&-\frac{1}{y}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}\) Jakobianens determinant är \(\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\neq0\) \(\implies\bar f\) är lokalt inverterbar kring punkten.
Inversfunktionens jakobian
Inversfunktionens jakobian är \((J_f)^{-1}\).
Exempel: Bestäm \(\frac{\partial(r,\theta)}{\partial(x,y)}\) för avbildningen \(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\) Vi har \(J_{f^{-1}}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}\). \(\frac{\partial(r,\theta)}{\partial(x,y)}=(J_{f^{-1}})^{-1}=\frac1r\begin{pmatrix}r\cos\theta&r\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}\begin{pmatrix}x&y\\-\frac y{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}\end{pmatrix}\)
Exempel:
Ekvationssystemet \(\begin{cases}e^x+xy+e^y=2\\x^3-x+y+y^3=0\end{cases}\) som har lösningen \((0,0)\) störs så att vi istället får systemet\[\begin{cases}e^x+xy+e^y=2+\epsilon_1\\x^3-x+y+y^3=0+\epsilon_2\end{cases}\]Inför \(\bar f:\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}e^x+xy+e^y\\x^3-x+y+y^3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}\)
Vi söker \(\bar f^{-1}(2+\epsilon_1,0+\epsilon_2)=(x,y)\)
Gör en linjär approximation av inversfunktionen kring \((2,0)\):
\(\bar f^{-1}(2+\epsilon_1,0+\epsilon_2)\approx\bar f^{-1}(2,0)+J_{\bar f^{-1}}(2,0)\begin{bmatrix}\epsilon_1\\\epsilon_2\end{bmatrix}\)
\(J_{\bar f^{-1}}(2,0)=(J_{\bar f}(0,0))^{-1}=\{\text{från tidigare}\}=\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}^{-1}=\frac12\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\)
\(\bar f^{-1}(2+\epsilon_1,0+\epsilon_2)\approx(0,0)+\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\epsilon_1\\\epsilon_2\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}\epsilon_1-\epsilon_2\\\epsilon_1+\epsilon_2\end{pmatrix}\)
Föreläsning 13-14
Extrempunkter
- En lokal minpunkt är en punkt \((a,b)\) så att \(f(a,b)\leq f(x,y)\) i en omgivning till \((a,b)\).
- En lokal maxpunkt är en punkt \((a,b)\) så att \(f(a,b)\geq f(x,y)\) i en omgivning till \((a,b)\).
- En global minpunkt är en punkt \((a,b)\) så att \(f(a,b)\leq f(x,y)\) i hela definitionsmängden.
- En global maxpunkt är en punkt \((a,b)\) så att \(f(a,b)\geq f(x,y)\) i hela definitionsmängden.
Optimering över kompakta områden
En kontinuerlig funktion \(f\) antar alltid ett största och minsta värde i ett kompakt område. Detta kan ske i fyra typer av punkter:
- Inre stationära (kritiska) punkter: \(f_{\bar v}'(a,b)=0\) för alla riktningar \(\bar v\).
- Stationära (kritiska) randpunkter: \(f_{\bar v}'(a,b)=0\) för alla riktningar \(\bar v\) som är parallella med randen.
- Icke-differentierbara punkter
- Singulära randpunkter och hörnpunkter
Inre stationära punkter
Antag \(f(x,y)\) är differentierbar. Funktionen \(f(x,y)\) antar lokala min/max endast i inre stationära punkter. I dessa punkter gäller att \(f_{\bar v}'(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\bar v=0\), vilket medför att \(\nabla f(a,b)=(0,0)\).
Exempel: Bestäm alla inre stationära punkter till \(f(x,y)=8xy-4x^2y-2xy^2+x^2y^2\).
Partialderivatorna är
\(f_x'=8y-8xy-2y^2+2xy^2\)
\(f_y'=8x-4x^2-4xy+2x^2y\)
Dessa är båda elementära\(\implies\)kontinuerliga\(\implies f\) är differentierbar
Vi söker punkter där \(\nabla f(x,y)=(0,0)\).
\(\begin{cases}8y-8xy-2y^2+2xy^2=0\\8x-4x^2-4xy+2x^2y=0\end{cases}\)
\(\iff\begin{cases}2y(4-4x-y+xy)=0\\2x(4-2x-2y+xy)=0\end{cases}\)
Vi har fyra möjligheter:
\(y=0\) \(4-4x-y+xy=0\) \(x=0\) \((0,0)\) \((0,4)\) \(4-2x-2y+xy=0\) \((2,0)\) \(y=2x\\\implies (x-1)(x-2)=0\\(1,2)\text{ och }(2,4)\) Svar: \((0,0),(0,4),(2,0),(1,2),(2,4)\) är de inre stationära punkterna. Eftersom \(f\) är differentierbar kan min/max bara antas i dessa punkter.
Övning: Bestäm alla inre stationära punkter till \(f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+2\).
\(\nabla f=(2x-2,2y-4)\)
Kontinuerliga partialderivator\(\implies f\) är differentierbar.
Stationära punkter är lösningar till \(\nabla f=(0,0)\).
Svar: \((1,2)\)Övning: Bestäm alla inre stationära punkter till \(f(x,y)=2x^4+y^4-x^2-2y^2\).
\(\nabla f=(8x^3-2x,4y^3-4y)=(0,0)\)
\(\begin{cases}2x(4x^2-1)=0\\4y(y^2-1)=0\end{cases}\iff\begin{cases}2x(2x-1)(2x+1)=0\\4y(y-1)(y+1)=0\end{cases}\)
\(x=0\) \(x=-1/2\) \(x=1/2\) \(y=0\) \((0,0)\) \((-1/2,0)\) \((1/2,0)\) \(y=-1\) \((0,-1)\) \((-1/2,-1)\) \((1/2,-1)\) \(y=1\) \((0,1)\) \((-1/2,1)\) \((1/2,1)\) Svar: Det finns 9 stationära punkter (se ovan).
Klassificering av inre stationära punkter
Den stationära punktens karaktär (lokalt max, min eller ingetdera) avgörs av kvadratformen i 2:a gradens taylorutveckling till funktionen:
Observera att förstagradstermer saknas eftersom partialderivatorna \(=0\).
- Negativt definit\(\implies\)lokal maxpunkt
- Positivt definit\(\implies\)lokal minpunkt
- Indefinit\(\implies\)sadelpunkt (varken max/min)
- Semidefinit\(\implies\)ingen slutsats
Exempel: Bestäm alla lokala extrempunkter till \(f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y\).
Lokala extrempunkter kan bara förekomma i stationära punkter, dvs. \(\nabla f=(0,0)\)
\(\nabla f=(3x^2+3y^2-15,6xy-12)=(0,0)\)
\(\begin{cases}x^2+y^2-5=0\\xy-2=0\end{cases}\implies\{y=\frac2x\text{ eftersom }x\neq0\}\implies x^2+\frac4{x^2}-5=0\\\implies x=\pm1\text{ eller }x=\pm2\)
Stationära punkter: \((1,2),(-1,-2),(2,1),(-2,-1)\).
Vi väljer att undersöka \((2,1)\):
Taylorutveckling ger \(f(2+h,1+k)=f(2,1)+\frac12\begin{pmatrix}h&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6x&6y\\6y&6x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}+o(r^2)\)
Andragradstermerna ("dominerande"):
\(\frac12(12h^2+12hk+12k^2)=\{\text{kvadratkomplettering}\}=6(h+\frac k2)^2+\frac{9k^2}2\)
Positivt definit och alltså är \((2,1)\) en lokal minimipunkt.
Motsvarande kan göras för övriga stationära punkter...
Stationära punkter på en kurva
Antag att \(f(x,y)\) är differentierbar och att vi har en kurva utan singulära punkter. På kurvan antar \(f\) lokala max- och minvärden endast i punkter \((a,b)\) där \(f_{\bar v}'(a,b)=0\) för alla riktningar \(\bar v\) parallella med kurvan i punkten.
Lagrangevillkoret
I en stationär punkt \((a,b)\) till \(f(x,y)\) på kurvan \(g(x,y)=0\) gäller att
Motivering:
Vi väljer en punkt \((a,b)\) på kurvan \(g(x,y)=0\).
Om \(\bar v\) är en vektor parallell med kurvan i denna punkt gäller att \(\nabla g(a,b)\cdot\bar v=0\), dvs. de är vinkelräta.
Eftersom \((a,b)\) är en stationär punkt på kurvan är \(f_{\bar v}'(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\bar v=0\), dvs. även de är vinkelräta.
Eftersom både \(\nabla g(a,b)\) och \(\nabla f(a,b)\) är vinkelräta mot \(\bar v\), måste \(\nabla f(a,b)=\lambda\nabla g(a,b)\).Exempel: Bestäm alla stationära punkter till \(f(x,y)=xy\) på ellipsen \(x^2+3y^2=1\)
Inför \(g(x,y)=x^2+3y^2-1\). Då ges ellipsen av \(g(x,y)=0\).
Enligt lagrangevillkoret måste \(\nabla f(x,y)\parallel\nabla g(x,y)\) för att \((x,y)\) ska vara en stationär punkt.
Vi har \(\nabla f=(y,x)\) och \(\nabla g=(2x,6y)\).
Att \(\nabla f\parallel\nabla g\iff\begin{vmatrix}y&x\\2x&6y\end{vmatrix}=0\)
Vi får \(0=6y^2-2x^2=2(3y^2-x^2)=2(\sqrt3y-x)(\sqrt3y+x)\)
Två fall: \(\sqrt3y-x=0\) eller \(\sqrt3y+x=0\)
I första fallet: \(x=\sqrt3y\implies6y^2-1=0\implies\begin{cases}x=\frac1{\sqrt2},&y=\frac1{\sqrt6}\\x=-\frac1{\sqrt2},&y=-\frac1{\sqrt6}\end{cases}\)
I andra fallet: \(x=-\sqrt3y\implies6y^2-1=0\implies\begin{cases}x=-\frac1{\sqrt2},&y=\frac1{\sqrt6}\\x=\frac1{\sqrt2},&y=-\frac1{\sqrt6}\end{cases}\)
Lagrangefunktionen
Vi inför Lagrangefunktionen \(L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)\).
De stationära punkterna till \(f(x,y)\) på kurvan \(g(x,y)=0\) ges då av de stationära punkterna till \(L\). Detta kan ses som:
Exempel: Bestäm alla stationära punkter till \(f(x,y)=x^2+y^2\) på \(x^4+y^4=1\).
Vi inför \(g(x,y)=x^4-y^4-1=0\).
Vi definierar \(L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)=x^2+y^2-\lambda(x^4+y^4-1)\)
Vi söker punkter där \(\nabla L=(0,0,0)\).
\(\nabla L=(2x(1-2\lambda x^2),2y(1-2\lambda y^2),1-x^4-y^4)=(0,0,0)\)
\(x=0\) \(1=2\lambda x^2\) \(y=0\) Uppfyller ej
\(1-x^4-y^4=0\)\((-1,0),(1,0)\) \(1=2\lambda y^2\) \((0,-1),(0,1)\) 4 möjliga punkter:
\((\pm\sqrt[4]{1/2},\pm\sqrt[4]{1/2})\)Övning: Skriv upp Lagrangefunktionen till följande problem:
a) Bestäm stationära punkter till \(f(x,y)=xy\) på kurvan \(2x^2+y^2=1\).
\(L(x,y,\lambda)=xy-\lambda(2x^2+y^2-1)\)b) Bestäm stationära punkter till \(f(x,y)=e^{x-y}\) på kurvan \(3x+4y=1\).
\(L(x,y,\lambda)=e^{x-y}-\lambda(3x+4y-1)\)c) Vilka punkter på ellipsen \(5x^2+4xy+2y^2=6\) ligger närmast origo?
Vi vill minimera \(|(x-0,y-0)|=\sqrt{x^2+y^2}\) under förutsättning att \(5x^2+4xy+2y^2=6\).
Dvs. \(L(x,y,\lambda)=\sqrt{x^2+y^2}-\lambda(5x^2+4xy+2y^2-6)\)
Parametrisering av kurvan
Om randkurvan kan parametriseras \((x,y)=(x(t),y(t))\) så uppfyller de stationära randpunkterna
Exempel: Sök stationära punkter till \(f(x,y)=x^2+2y^2-x+1\) på enhetscirkeln.
Enhetscirkeln kan parametriseras som \((x,y)=(\cos t,\sin t),t:0\to2\pi\)
\(f(x(t),y(t))=\cos^2t+2\sin^2t-\cos t+1=2+\sin^2t-\cos t=3-\cos^2t-\cos t\)
Vi söker nu lokala max/min:
\(\frac d{dt}f(x(t),y(t))=2\cos t\sin t+\sin t=2\sin(t)(\cos t+1/2)=0\)
\(\implies\sin t=0\text{ eller }\cos t=-\frac12\)
Första fallet ger \(t=0,t=\pi\implies(1,0),(-1,0)\)
Andra fallet ger \(x=-\frac12,y=\pm\frac{\sqrt3}2\implies(-\frac12,\frac{\sqrt3}2),(-\frac12,-\frac{\sqrt3}2)\)Exempel: Bestäm alla stationära randpunkter till \(f(x,y)=2-3x^2+y^2-3\ln(1+x^2+y^2)\) på enhetscirkeln.
På enhetscirkeln gäller \(f(x,y)=3-4x^2-3\ln2\)
Parametrisering av enhetscirkeln \((x,y)=(\cos t,\sin t),t:0\to2\pi\)
Vi får \(f(x(t),y(t))=3-4\cos^2t-3\ln2\)
Vi söker nu stationära punkter till \(f\) på enhetscirkeln, dvs. punkter där
\(0=\frac d{dt}f(x(t),y(t))=8\cos t\sin t\)
Vi får punkterna \((0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)\).
Sammanfattande exempel
Exempel: Bestäm det största och minsta värde som \(f(x,y)=2x^2+xy+3y^2\) antar i kvadraten \(-1\leq x\leq1,-1\leq y\leq1\).
Observera att detta är ett kompakt område, och att \(f(x,y)\) är kontinuerlig\(\implies f\) har min- och max-värden i området.
De punkter vi behöver undersöka:
- Inre stationära punkter: \(\nabla f=(0,0)\)
\(\nabla f=(4x+y,x+6y)=(0,0)\implies(0,0)\)- Stationära randpunkter: Punkter där Lagrangevillkoret är uppfyllt
Randen består av 4 linjestycken:
(1) \((x,y)=(1,t),-1\leq t\leq1\implies\frac d{dt}f(x(t),y(t))=1+6t=0\implies(1,-\frac16)\)
(2) \(g(x,y)=y-1=0,\nabla f\parallel\nabla g\implies0=\begin{vmatrix}4x+y&x+6y\\0&1\end{vmatrix}=4x+y=4x+1\\\implies(-\frac14,1)\)
(3) \((x,y)=(-1,t),-1\leq t\leq1\implies\frac d{dt}f(x(t),y(t))=6t-1=0\implies(-1,\frac16)\)
(4) \((x,y)=(t,-1),-1\leq t\leq1\implies\frac d{dt}f(x(t),y(t))=4t-1=0\implies(\frac14,-1)\)- Icke-differentierbara punkter
Finns inga sådana punkter! \(f_x',f_y'\) kontinuerliga\(\implies f\) kontinuerligt deriverbar\(\implies\) differentierbar- Hörnpunkter & singulära randpunkter: Punkter där randkurvor möts resp. där \(\nabla g=(0,0)\).
Hörnpunkterna \((-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\) är möljliga min/max-punkter.
Singulära punkter (dvs. \(\nabla g=(0,0)\) eller \((\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=(0,0)\)): Uppkommer inte.Kandidater: \((0,0),(1,-\frac16),(-\frac14,1),(-1,\frac16),(\frac14,-1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\)
Funktionen maximi- och minimipunkt i området måste finnas bland dessa.
\(f(0,0)=0,f(1,-\frac16)=\frac{23}{12},f(-\frac14,1)=\frac{23}8,f(-1,\frac16)=\frac{23}{12},f(\frac14,-1)=\frac{23}8,f(-1,-1)=6,f(-1,1)=4,f(1,-1)=4,f(1,1)=6\)
Svar: Minimivärde 0 och maximivärde 6.
Optimering över icke-kompakta områden
På ett område som inte är kompakt behöver en kontinuerligt deriverbar funktion inte alltid anta något största/minsta värde.
Detta då randpunkterna inte ingår i området.
Exempel: Bestäm det största och minsta värde som \(f(x,y)=xy^2e^{-xy}\) antar i \(0\leq x\leq2,y\geq0\).
Då \(f(x,y)\geq0\) i hela området, och \(f(0,0)=0\), är funktionens minsta värde 0.
Något största värde finns inte eftersom \(f(1/t,t)=\frac1tt^2e^{-\frac1tt}=\frac te\to\infty\) när \(t\to\infty\).
Föreläsning 15
Optimering i rummet
Ett optimeringsproblem i rummet går ut på att bestämma det största eller minsta värde som en funktion \(f(x,y,z)\) antar i ett område i rummet. T.ex. "var i rummet är temperaturen högst".
Optimering över kompakta områden i rummet
En kontinuerlig funktion \(f\) antar alltid ett största och minsta värde i ett kompakt område. Det finns fyra typer av punkter där max/min kan antas för en differentierbar funktion:
- Inre stationära punkter: \(\nabla f=(0,0,0)\)
- Stationära randytpunkter: Punkter på randytan där \(f_{\hat v}'(a,b,c)=0\) för alla riktningar parallella med randytan.
- Stationära punkter på skärningen mellan randytor
- Hörnpunkter och singulära randpunkter
Inre stationära punkter
Antag att \(f(x,y,z)\) är differentierbar. Funktionen \(f(x,y,z)\) antar lokala max/min endast i punkter där \(f_{\hat v}'(a,b,c)=0\) för alla riktningar. Detta motsvarar att
Övning: Bestäm alla stationära punkter till \(f(x,y,z)=x^2+y^2+2z-xy-xz\).
Vi vet att inre stationära punkter uppfyller \(\nabla f=(0,0,0)\), dvs.
\((2x-y-z,2y-x,2-x)=(0,0,0)\)
Vi ser att \(x=2\), och då måste \(y=1,z=3\).
Svar: Den enda stationära punkten är \((2,1,3)\).
Stationära punkter på en (rand)yta
Om \(f(x,y,z)\) är differentierbar gäller, för en icke-singulär lokal extrempunkt på ytan, att
\(f_{\hat v}(a,b,c)=0\) för alla \(\hat v\) parallella med ytan i punkten.
Lagrangevillkoret
I en stationär randpunkt till \(f(x,y,z)\) på ytan \(g(x,y,z)=0\) gäller att
Förklaring:
I en stationär randpunkt gäller \(f_{\hat v}'=\nabla f\cdot\hat v=0\) för alla \(\hat v\) parallella med ytan. Detta ger att \(\nabla f\perp\hat v\).
En normal till ytan \(g=0\) ges av \(\nabla g\), vilket innebär att \(\nabla g\perp\hat v\) (ty \(\hat v\) parallell med ytan).\[\nabla f\perp\hat v\ \land\nabla g\perp\hat v\text{ för alla }\hat v\text{ i planet}\implies\nabla f\parallel\nabla g\]Exempel: Bestäm det största värdet som \(f(x,y,z)=x+z^2\) antar på enhetssfären.
Enhetssfären: \(x^2+y^2+z^2=1\)
Låt \(g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\)
\(f\) är elementär \(\implies\) kontinuerlig
Enhetssfären är en kompakt mängd\(\implies f\) antar ett största värde
Ett största värde kan bara antas i punkter som uppfyller \(\nabla f\parallel\nabla g\).\[\nabla f\parallel\nabla g\iff\begin{vmatrix}\text{---}\nabla f\text{---}\\\text{---}\nabla g\text{---}\\\begin{matrix}a&b&c\end{matrix}\end{vmatrix}=0,\text{ för alla }a,b,c\in\mathbb R\]Vi får \(0=\begin{vmatrix}1&0&2z\\2x&2y&2z\\a&b&c\end{vmatrix}=a(-4yz)-b(2z-4xz)+c(2y)\)
\(\implies\begin{cases}yz=0\\z(1-2x)=0\\y=0\\x^2+y^2+z^2=1\end{cases}\)
\(\implies\begin{cases}z(1-2x)=0\\y=0\\x^2+z^2=1\end{cases}\)
\(\implies(\pm1,0,0),(\frac12,0,\pm\frac{\sqrt3}2)\)
Vi har alltså ovanstående 4 punkter där max/min kan antas.
\(f(1,0,0)=1,f(-1,0,0)=-1,f(\frac12,0,\pm\frac{\sqrt3}2)=\frac54\)
Svar: Största värde är \(\frac54\).
Lagrangefunktionen
Stationära punkter till \(f(x,y,z)\) på ytan \(g(x,y,z)=0\) uppfyller att \(\nabla f\parallel\nabla g\).
Detta är ekvivalent (förutsatt \(\nabla g\neq\bar0\)) med att de är lösningar till ekvationssystemet
Genom att införa Lagrangefunktionen \(L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)\) ges lösningarna som de stationära punkterna till denna funktion, dvs. \(\nabla L=(0,0,0,0)\)
Övning: Skriv upp lagrangefunktionen till följande problem:
a) Bestäm stationära punkter till \(f(x,y,z)=xy+yz\) på sfären \(x^2+y^2+z^2=2\).\(L(x,y,z,\lambda)=xy+yz-\lambda(x^2+y^2+z^2-2)\)
b) Bestäm det största värde som summan av tre positiva tal kan anta om deras produkt är 8.
\(L(x,y,z,\lambda)=x+y+z-\lambda(xyz-8)\)
Observera att vi behöver kontrollera att svaren blir positiva tal (såsom uppgiften kräver).
Parametrisering av ytan
Om ytan kan parametriseras: \((x,y,z)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\) uppfyller de stationära punkterna på ytan:
Exempel: Sök stationära punkter för \(f(x,y,z)=x+y-z\) på ytan \(z=x^2+y^2\).
Ytan kan parametriseras som \((x,y,z)=(s,t,s^2+t^2)\).
Vi får \(f=s+t-s^2-t^2\), och partialderivatorna måste uppfylla
\(\begin{cases}f_s'=1-2s=0\\f_y'=1-2t=0\end{cases}\iff(s,t)=(\frac12,\frac12)\)
Detta ger slutligen \((x,y,z)=(\frac12,\frac12,\frac12)\)
Stationära punkter på en skärningskurva
(dvs. kurvor där randytor möts)
Om \(f(x,y,z)\) är differentierbar, då gäller för en icke-singulär lokal extrempunkt på en skärningskurva mellan två ytor att \(f_{\hat y}'(a,b,c)=0\) för alla \(\hat u\) parallella med kurvan.
Lagrangevillkoret
I en stationär punkt till \(f(x,y,z)\) på skärningskurvan mellan ytorna \(g(x,y,z)=0\) och \(h(x,y,z)=0\) gäller att
Härledning:
Anta att \((a,b,c)\) är en stationär punkt till \(f\) utmed skärningskurvan av två nivåytor \(g=0,h=0\).
För en vektor \(\hat v\) som är parallell med denna kurva i punkten \((a,b,c)\) gäller att:\[\hat v\perp\nabla g(a,b,c)\text{ samt }\hat v\perp\nabla h(a,b,c)\]Givet att \((a,b,c)\) är en stationär randpunkt gäller även att \(f'_{\hat v}(a,b,c)=0\), det vill säga:
\[\hat v\perp\nabla f(a,b,c)\]Tre vektorer i \(\mathbb R^3\), som alla är vinkelräta mot samma vektor, kan omöjligt vara linjärt oberoende.
\(\therefore\) I en stationär punkt \((a,b,c)\) måste \(\{\nabla f(a,b,c),\nabla g(a,b,c),\nabla h(a,b,c)\}\) vara linjärt beroende.Exempel: Bestäm det största och minsta värde som \(xyz\) antar då \(x^2+y^2+z^2=1\) och \(x+y=1\).
Låt \(f(x,y,z)=xyz,g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1,h(x,y,z)=x+y-1\).
Ytorna kan nu skrivas som \(g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0\)
Lagrangevillkoret ger att \(\{\nabla f,\nabla g,\nabla h\}\) är linjärt beroende.
\(0=\begin{vmatrix}\text{---}\nabla f\text{---}\\\text{---}\nabla g\text{---}\\\text{---}\nabla h\text{---}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}yz&xz&xy\\2x&2y&2z\\1&1&0\end{vmatrix}=2xz^2-2xy^2-2yz^2+2x^2y=2(x-y)(z^2+xy)\)Två fall:
(1) \(x=y\) vilket ger \(x=y=\frac12,z=\pm\frac1{\sqrt2}\)
(2) \(xy=-z^2\) vilket ger \(1=x^2+(1-x)^2-x(1-x)=3x(x-1)+1\implies(0,1,0),(1,0,0)\)Min/max måste antas bland dessa
\(f(\frac12,\frac12,\frac1{\sqrt2})=\frac1{4\sqrt2},f(\frac12,\frac12,-\frac1{\sqrt2})=-\frac1{4\sqrt2},f(1,0,0)=f(0,1,0)=0\)
Svar: Största värde \(\frac1{4\sqrt2}\), minsta värde \(-\frac1{4\sqrt2}\).
Lagrangefunktionen
När vi söker stationära punkter till \(f\) på skärningskurvan mellan ytorna \(g=0,h=0\) har vi villkoret att \(\nabla f,\nabla g,\nabla h\) är linjärt beroende. Detta ger ekvationssystemet:
Vi inför Lagrangefunktionen \(L(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)-\mu h(x,y,z)\). Då ges ekvationssystemets lösningar av de stationära punkterna till \(L\):
Exempel: Bestäm det största och minsta värde som \(xyz\) antar då \(x^2+y^2+z^2=1\) och \(x+y=1\).
Vi inför \(f(x,y,z)=xyz,g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1,h(x,y,z)=x+y-1\).Langrangefunktionen ges av
\(L(x,y,z,\lambda,\mu)=xyz-\lambda(x^2+y^2+z^2-1)-\mu(x+y-1)\)
Stationära punkter till \(L\) ges av
\(\begin{cases}L_x'=yz-2\lambda x-\mu=0&(1)\\L_y'=xz-2\lambda y-\mu=0&(2)\\L_z'=xy-2\lambda z=0&(3)\\L_\lambda'=-(x^2+y^2+z^2-1)=0&(4)\\L_\mu=-(x+y-1)=0&(5)\end{cases}\)\(\implies\begin{cases} (1-x)z-2\lambda x-\mu=0&(1) \\-2\lambda+z-2\mu=0&(2) \\x(1-x)-2\lambda z=0&(3) \\2x(x-1)+z^2=0&(4) \\y=1-x&(5)\end{cases}\)
...
Lösningarna till detta blir \((\frac12,\frac12,-\frac1{\sqrt2}),(\frac12,\frac12,\frac1{\sqrt2}),(0,1,0),(1,0,0)\)
Sammanfattande exempel
Exempel: Bestäm det största och minsta värde som \(f(x,y,z)=x+y+z\) antar i området \(x^2+y^2+z^2\leq1,z\geq0\).
Max/min kan antas i (1) inre stationära punkter, (2) stationära rand(yt)punkter, och (3) stationära punkter på skärning mellan randytor. Singulära randpunkter och hörnpunkter saknas.(1) Inre stationära punkter. \(\nabla f(x,y,z)=(1,1,1)=0\) saknar lösning.
(2) Vi börjar med halvsfären: \(x^2+y^2+z^2=1,z\gt0\)
Vi väljer \(g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\implies\nabla g(x,y,z)=(2x,2y,2z)\)
Lagrangevillkoret ger \(\begin{vmatrix}a&b&c\\1&1&1\\2x&2y&2z\end{vmatrix}=0\iff x=y=z\)
Eftersom \(g=0\) har vi \(3x^2=3y^2=3z^2=1\implies(x,y,z)=\begin{matrix}{}_+\\{}^{(-)}\end{matrix}(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3})\)(3) Nu "bottenplattan": \(h(x,y,z)=z=0\implies\nabla h(x,y,z)=(0,0,1)\)
Lagrangevillkoret ger att \(\nabla h=(0,0,1)\parallel(1,1,1)=\nabla f\) Omöjligt.(4) Sist undersöker vi skärningen mellan de två randytorna \(g=0,h=0\).
Vi har att \(\{\nabla f,\nabla g,\nabla h\}\) ska vara linjärt beroende:
\(\begin{vmatrix}1&1&1\\2x&2y&2z\\0&0&1\end{vmatrix}=2y-2x=0\implies x=y\)
Med villkoren \(x^2+y^2+z^2=1,z=0\) fås \(2x^2=1\implies(x,y,z)=\pm(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0)\)Sammanfattningsvis har vi tre möljliga punkter: \((\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}),(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0),(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},0)\)
\(f(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3})=\sqrt3\)
\(f(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0)=\sqrt2\)
\(f(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},0)=-\sqrt2\)
Svar: Största värde är \(\sqrt3\) och minsta värde är \(-\sqrt2\).
Föreläsning 16
Dubbelintegraler
En dubbelintegral definieras som ett gränsvärde av Riemannsummor:
Om \(f(x,y)\) är en kontinuerlig funktion på ett kompakt område \(D\) med kontinuerligt deriverbara randkurvor, så existerar dubbelintegralen \({\int\int}_Df(x,y)dxdy\).
Icke-rektangulära områden
Om integrationsområdet \(D\) inte är en rektangel definierar vi
där \(R\) är en rektangel som innehåller \(D\), och \(F(x,y)=\begin{cases}f(x,y)&(x,y)\in D\\0&\text{annars}\end{cases}\).
Olika områden
Rektanglar
För en kontinuerlig funktion \(f\) på rektangeln \(D:a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\) integrerar vi en variabel i taget:
Enkla områden i y-led
Ett område är enkelt i y-led om det, för varje x-värde, definieras av ett sammanhängande y-intervall.
Exempel: Beräkna \({\int\int}_Dxy^2dxdy\) där
a) \(D:(x,y)|0\leq y\leq 1-x,0\leq x\leq 1\)
\({\int\int}_Dxy^2dxdy=\int_0^1\int_0^{1-x}xy^2dydx=\frac13\int_0^1x(1-x)^3dx=\frac1{60}\)b) \(D:(x,y)|0\leq x\leq1,\frac x2\leq y\leq1-\frac x2\)
\({\int\int}_Dxy^2dxdy=\int_0^1x\int_{x/2}^{1-x/2}y^2dydx=\int_0^1x[\frac{y^3}3]_{x/2}^{1-x/2}dx=\frac{11}{240}\)
Enkla områden i x-led
Ett område är enkelt i x-led om det, för varje y-värde, definieras av ett sammanhängande x-intervall.
Exempel: Skriv \({\int\int}_Dxy^2dxdy\) som upprepade enkelintegraler över områdena
a) \(-2\leq y\leq2,y+2\leq x\leq4\) \(\implies{\int\int}_Dxy^2dxdy=\int_{-2}^2\int_{y+2}^4xy^2dxdy\)
Byte av integrationsordning
Exempel: Beräkna \(\int_0^4\int_{\sqrt y}^2y\cos(x^5)dxdy\)
Området är \(0\leq y\leq4,\sqrt y\leq x\leq2\), vilket är ekvivalent med \(0\leq x\leq2,0\leq y\leq x^2\).
Detta ger \(\int_0^4\int_{\sqrt y}^2y\cos(x^5)dxdy=\int_0^2\int_0^{x^2}y\cos(x^5)dydx=\frac12\int_0^2x^4\cos(x^5)dx=\{t=x^5\}\\=\frac1{10}\int_0^{32}\cos(t)dt=\frac1{10}\sin(32)\)
Föreläsning 17
Areaformler
Ett polärt areaelement med vinkel \(\Delta\theta\) och radier \(r,r+\Delta r\) har arean:
För små areaelement (dvs. små \(\Delta\theta,\Delta r\)) kommer \(r\Delta r\Delta\theta\gg\frac12(\Delta r)^2\Delta\theta\) p.g.a. lägre grad i \(x,y\) (2 vs. 3).
Ett parallellogram som spänns upp av \(\bar u,\bar v\) har arean:
Polär substitution
Vid byte till polära koordinater ändras en dubbelintegral enligt formeln.
Detta kan motiveras med följande Riemannsumma:
Exempel: Beräkna \({\int\int}_D\frac{(x+y)^2}{1+x^2+y^2}dxdy\) där \(D:x^2+y^2\leq1\).
Integrationsområdet är en cirkelskiva, och \(x^2+y^2\) kan lätt förenklas.
Vi går därför över till polära koordinater:
\(\int_0^1\int_0^{2\pi}\frac{r^2+2r^2\cos\theta\sin\theta}{1+r^2}r\cdot d\theta dr=\int_0^{2\pi}(1+\sin(2\theta))d\theta\cdot\int_0^1\frac{r^3}{1+r^2}dr\\=\int_0^{2\pi}(1+\sin(2\theta))d\theta\cdot\int_0^1\frac{r^2}{1+r^2}rdr=[\theta-\frac12\cos(2\theta)]_0^{2\pi}\cdot\int_1^2\frac{t-1}t\frac12dt=2\pi\cdot\frac12[t-\ln|t|]_1^2\\=\pi(1-\ln2)\)
Svar: \(\pi(1-\ln2)\)
Allmän substitution
Vid byte till allmänna koordinater \(u,v\) ändras en dubbelintegral enligt formeln
Härledning: Ta ett område som är besvärligt att beskriva i \(x,y\), men som kan beskrivas som \(3\leq u\leq6,2\leq v\leq6\).
Sambandet mellan koordinatsystemen är: \((x,y)=(x(u,v),y(u,v))\)Vi delar upp området i ett \(u,v\)-rutnät.
Varje sådan ruta, med kantvektorer \(\begin{bmatrix}\Delta u_i\\0\end{bmatrix}\) och \(\begin{bmatrix}0\\\Delta v_j\end{bmatrix}\) i \(u,v\)-koordinater, kan approximativt översättas till \(J_{ij}\begin{bmatrix}\Delta u_i\\0\end{bmatrix}\) respektive \(J_{ij}\begin{bmatrix}0\\\Delta v_j\end{bmatrix}\).
Volymen under grafen blir i detta område\[f(x(u_i,v_j)),y(u_i,v_j))\left|\det\left({J_{ij}\begin{bmatrix}\Delta u_i&0\\0&\Delta v_j\end{bmatrix}}\right)\right|\\=f(x(u_i,v_j)),y(u_i,v_j))|\det{J_{ij}}|\Delta u_i\Delta v_j\]För hela området beskrivs volymen av en Riemannsumma:
\[V=\lim_{n\to\infty}\sum f(x(u_i,v_j),y(u_i,v_j))|\det{J_{ij}}|\Delta u_i\Delta v_j\]Detta kan beskrivas som en dubbelintegral enligt definitionen ovan.
Exempel: Beräkna \({\int\int}_De^{x-y}dxdy\) där \(D\) är parallellogrammet med hörn \((0,0),(1,1),(2,1),(1,0)\).
Denna uppgift går även att lösa genom att se området som enkelt i x-led (dvs. ett sammanhängande \(x\)-intervall ges för varje \(y\)).Med variabelsubstitution:
Inför en ny bas \(B=\{\bar u,\bar v\}=\{(1,0),(1,1)\}\). I denna bas blir området rektangulärt: \(\begin{cases}0\leq u\leq 1\\0\leq v\leq1\end{cases}\)
Sambandet ges av \(x=u+v,y=v\).
Vi har nu\[{\int\int}_De^{x-y}dxdy={\int\int}_De^{u+v+v}\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudv={\int\int}_De^{u+v+v}\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}dudv={\int\int}_De^{u+v+v}dudv\\=\int_0^1\int_0^1e^{u+2v}dudv\]Härledning av polär substitution Härled formeln för polär substitution
\[{\int\int}_Df(x,y)dxdy={\int\int}_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]ur formeln för allmän substitution.
Vi har \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\).
\[{\int\int}_Df(x,y)dxdy={\int\int}_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)\left|\det\begin{bmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{bmatrix}\right|drd\theta\\={\int\int}_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]
Icke-linjärt variabelbyte
Exempel: Bestäm arean av området \(1\leq x+y\leq2,\ 1\leq\frac yx\leq2\).
Låt \(f(x,y)=1\) och integrera över området.
\(A={\int\int}_Ddxdy\)
Nästa steg är att införa nya koordinater \(\begin{cases}u=x+y\\v=\frac yx\end{cases}\iff D:\begin{cases}1\leq u\leq2\\1\leq v\leq2\end{cases}\).
Detta ger:\[A={\int\int}_Ddxdy=\int_1^2\int_1^2\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudv\\=\int_1^2\int_1^2\left|\det\left(\frac1{1+v}\begin{bmatrix}1&-\frac u{1+v}\\v&\frac u{1+v}\end{bmatrix}\right)\right|dudv\\=\int_1^2\int_1^2\left|\left(\frac1{1+v}\right)^2\det\begin{bmatrix}1&-\frac u{1+v}\\v&\frac u{1+v}\end{bmatrix}\right|dudv\\=\int_1^2\int_1^2\left|\left(\frac1{1+v}\right)^3\det\begin{bmatrix}1&-u\\v&u\end{bmatrix}\right|dudv\\=\int_1^2\int_1^2\frac{|u|}{(1+v)^2}dudv=\int_1^2\frac1{(1+v)^2}dv\int_1^2udu\\=\left[-\frac1{1+v}\right]_1^2\cdot\left[\frac{u^2}2\right]_1^2=\frac16\cdot\frac32=\frac14\]Svar: Arean är 1/4 a.e.
Udda funktioner
En funktion \(f(x,y)\) är udda...
- i \(x\)-led om \(f(-x,y)=-f(x,y)\),
- i \(y\)-led om \(f(x,-y)=-f(x,y)\)
Om en udda funktion i \(x\)- eller \(y\)-led integreras över ett område som är symmetriskt i samma riktning är
Generaliserade dubbelintegraler
En dubbelintegral är generaliserad om antingen
- integrationsområdet är obegränsat, och/eller
- integranden är obegränsad.
Uttömmande följd
Ett öppet område \(D\) töms ut av en följd \(D_1\sub D_2\sub\cdots\) av områden inuti \(D\) om
- varje \(D_n\) är begränsad och mätbar (dvs. har en väldefinierad area), samt
- för varje kompakt mängd \(G\sub D\) finns ett område \(D_n\) som innehåller \(G\).
Definition av generaliserade dubbelintegraler
En generaliserad dubbelintegral definieras som
om gränsvärdet existerar och är lika för alla uttömmande följder \(\{D_n\}\) där \(f(x,y)\) är begränsad.
För funktioner \(f\geq0\) räcker det att visa att
existerar för någon uttömmande följd \(\{D_n\}\) för att kunna dra slutsatsen att dubbelintegralen är konvergent (dvs. existerar).
Exempel: Undersök om \({\int\int}_{\mathbb R^2}\frac1{(1+x^2+y^2)^2}dxdy\) är konvergent och beräkna i så fall integralens värde.
Vi väljer en uttömmande följd av \(\mathbb R^2\) som cirkelskivor \(D_n:x^2+x^2\leq n^2\).
Vi har \({\int\int}_{D_n}\frac1{(1+x^2+y^2)^2}dxdy=\{\text{till polära koordinater}\}=\int_0^{2\pi}\int_0^n\frac1{(1+r^2)^2}rdrd\theta\\=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^n\frac1{(1+r^2)^2}rdr=\{t=1+r^2\}=2\pi\int_1^{1+n^2}\frac1{2t^2}dt=\pi[-\frac1t]_1^{1+n^2}=\pi(1-\frac1{1+n^2})\)
Vi undersöker gränsvärdet:
\(\lim_{n\to\infty}{\int\int}_{D_n}\frac1{(1+x^2+y^2)^2}dxdy=\lim_{n\to\infty}\pi(1-\frac1{1+n^2})=\pi\)
Svar: Eftersom integranden är positiv visar detta att dubbelintegralen är konvergent och lika med \(\pi\).
Absolutkonvergenta generaliserade dubbelintegraler
En generaliserad dubbelintegral är konvergent omm den är absolutkonvergent:
Fubinis sats
Om \(f(x,y)\geq0\) och någon av integralerna
- \(\int\int f(x,y)dxdy\) över \(D\) (den generaliserade dubbelintegralen)
- \(\int(\int f(x,y)dx)dy\) över \(D\)
- \({\int(\int}f(x,y)dy)dx\) över \(D\)
är konvergent, då är alla tre konvergenta och har samma värde.
Exempel: Undersök om \({\int\int}_{\substack{x\geq0\\y\geq0}}\frac1{(1+x^2)(1+y^2)}dxdy\) är konvergent.
Dubbelintegralen är generaliserad (då området är obegränsat) och integranden är positiv.
\(\int_0^\infty\left(\int_0^\infty\frac1{(1+x^2)(1+y^2)}dx\right)dy=\int_0^\infty\frac1{1+y^2}dy\int_0^\infty\frac1{1+x^2}dx=[\arctan y]_0^\infty[\arctan x]_0^\infty=\frac{\pi^2}4\)Exempel: Beräkna \({\int\int}_{0\leq x\leq1}\frac1{1+(x-2y)^2}dxdy\).
Integrationsområdet är obegränsat\(\implies\)generaliserad dubbelintegral
Integranden är positiv\(\implies\)Fubinis sats kan användas
\({\int\int}_{0\leq x\leq1}\frac1{1+(x-2y)^2}dxdy=\int_0^1(\int_{-\infty}^\infty\frac1{1+(x-2y)^2}dy)dx=\{t=x-2y\}=-\frac12\int_0^1(\int_\infty^{-\infty}\frac1{1+t^2}dt)dx\\=\frac12\int_0^1[\arctan t]_{-\infty}^\infty dx=\frac12\int_0^1\frac\pi2+\frac\pi2dx=\frac\pi2\)
Svar: Enligt Fubinis sats är den generaliserade dubbelintegralen konvergent med värde \(\frac\pi2\).
Föreläsning 18
Kryssprodukt i planet
Ett parallellogram som spänns upp av \(\vec u=(u_1,u_2),\vec v=(v_1,v_2)\) har arean
Cirkulation
Om en kurva \(\gamma\) är enkel (inte skär sig själv) och sluten kurva med positiv (moturs) orientering så definieras cirkulationen av ett vektorfält \(\vec F\) runt \(\gamma\) som:
Cirkulationen mäter hur mycket \(\vec F\) flödar utmed kurvan.
Exempel 1: Visa att om \(\vec F=(a+bx+cy,e+fx+gy)\) och \(\gamma\) är den positivt orienterade randkurvan till en triangel \(D:(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\) så är
\[\boxed{\oint_\gamma\vec F\cdot d\vec r=(f-c)\cdot \text{area}(D)}\]\[HL=(f-c)\cdot\text{area}(D)=\frac12(f-c)\begin{vmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1\\x_3-x_1&y_3-y_1\end{vmatrix}\\=\frac12(f-c)\left((x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\right)\]\(\vec F=(a+bx,e+gy)+(cy,fx)\) där den vänstra termen är ett konservativt vektorfält!
Dvs. \(\oint_\gamma\vec F\cdot d\vec r=\oint_\gamma(cy,fx)\cdot d\vec r=\{\text{dela upp kurvan i en del/sida i triangeln}\}=I_1+I_2+I_3\)
\(I_1=\left\{\begin{matrix}\vec r=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{bmatrix}\\\text{där }t:0\to1\\d\vec r=\frac{d\vec r}{dt}dt=\begin{bmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{bmatrix}dt\end{matrix}\right\}=\int_0^1(y_1+t(y_2-y_1))(x_2-x_1)c+(x_1+t(x_2-x_1))(y_2-y_1)fdt\\I_2=\dots\\I_3=\dots\)
Svar: Med Maple fås att likheten gäller.Övning: (kopplat till exemplet ovan)
Bestäm cirkulationen av
a) \(\vec F=(3x+4y,6y)\) runt den positivt orienterade triangeln \(\gamma\) med hörn \((0,0),(5,0),(0,5)\)
Enligt exemplet ovan gäller att\[\oint_\gamma(3x+4y,6y)\cdot d\vec r=(-4)\cdot\text{area}(D_1)=-50\]Svar: -50
b) \(\vec F=(1-x+2y,3+2x-y)\) runt den negativt orienterade triangeln \(\gamma\) med hörn \((0,0),(6,6),(6,3)\). Enligt exemplet ovan gäller att
\[\oint_\gamma(1-x+2y,3+2x-y)\cdot d\vec r=(2-2)\cdot\text{area}(D_2)=0\]Svar: 0
Alternativ definition av cirkulation
där \(ds\) är båglängdselementet och \(\vec n\) är den utåtpekande enhetsnormalen.
Härledning:
Vi har en kurva \(\gamma\) som vi parametriserar \(\vec r(t)=(x(t),y(t)),t:a\to b\).
Vi börjar med att visa att \(\vec nds=(\dot y(t),-\dot x(t))dt\):
Belopp: Båda led har samma längd.
\(||\text{VL}||=ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt\)
\(||\text{HL}||=\sqrt{\dot y^2+(-\dot x)^2}dt\implies=||\text{VL}||\)
Riktning: Båda led har samma riktning.
\(\text{VL}\) har riktningen \(\vec n\perp(\dot x,\dot y)\)
\(\text{HL}\) har riktningen \((\dot y,-\dot x)\perp(\dot x,\dot y)\)
\(\therefore\text{VL}=\text{HL}\)
Vi får då att \(\oint_\gamma\vec n\times\vec Fds=\oint_\gamma(\dot y,-\dot x)\times\vec Fdt\\=\oint_\gamma\begin{vmatrix}\dot y&-\dot x\\P&Q\end{vmatrix}dt=\oint_\gamma(\dot yQ+\dot xP)dt=\oint_\gamma(P\dot x+Q\dot y)dt=\oint_\gamma\vec F\cdot d\vec r\)
Slutsats: Den alternativa definitionen gäller.
Flöde i planet
Om \(\gamma\) är randkurvan till ett öppet område så definieras flödet av ett vektorfält \(\vec F\) ut ur området som
där \(\vec n\) är den utåtpekande enhetsnormalen.
Exempel 2: Visa att om \(\vec F=(a+bx+cy,e+fx+gy)\) och \(\gamma\) är den positivt orienterade randkurvan till en triangel \(D\) så är
Anta att vi har parametriserat \(\gamma:\vec r(t)=(x(t),y(t)),t:a\to b\)
\(\vec nds=(\dot y(t),-\dot x(t))dt\)
\(\vec F=(P,Q)\)
\(\oint_\gamma\vec n\cdot\vec Fds=\int_a^b(\dot y(t),-\dot x(t))\cdot(P,Q)dt=\int_a^b(-Q,P)\cdot(\dot x,\dot y)dt=\oint_\gamma(-Q,P)\cdot d\vec r\\=\{\text{från exempel 1}\}=(b-(-g))\cdot\text{area}(D)\)
VSVÖvning: Beräkna flödet. a) \(\vec F=(x+2y,1-x+y)\) Flödet är \(\oint_\gamma\vec n\cdot\vec Fds=(1+1)\cdot\text{area(triangeln)}\)
b) \(\vec F=(1-3x,x+3y)\) Flödet är \(\oint_\gamma\vec n\cdot\vec Fds=(-3+3)\cdot\text{area(triangeln)}=0\)
Rotation (cirkulationsdensitet) av vektorfält
Rotationen av ett vektorfält \(\vec F=(P,Q)\) betecknas
och anger hur mycket vektorfältet virvlar i en punkt.
Om vi ser vektorfältet som ett hastighetsfält till en vätska, kan ovanstående definition liknas vid att placera att ett skovelhjul i en punkt, och studera hur det roterar.
Övning: En vätskas hastighetsfält ges av \(\vec v=(x^2,xy)\). Hur snurrar ett skovelhjul placerat längs a) positiva x-axeln, b) negativa x-axeln, c) positiva y-axeln, och d) negativa y-axeln?
Vi beräknar rotationen:
\(\text{rot}\ \vec v=\nabla\times\vec v=\frac\partial{\partial x}(xy)-\frac\partial{\partial y}(x^2)=y\)a+b) \(\text{rot}\ \vec v=0\implies\)Ingen rotation.
c) \(\text{rot}\ \vec v\gt0\implies\)Positiv (moturs) rotation.
d) \(\text{rot}\ \vec v\lt0\implies\)Negativ (medurs) rotation.
Rotation som cirkulationsdensitet
Rotationen kan ses som en cirkulationsdensitet och ges då av
där \(D\) är en triangel som innehåller \((a,b)\) och \(\partial D\) är dess positivt orienterade randkurva.
Härledning: \(\vec F=(P,Q)\)
Vi gör en linjär approximation av vektorfältet kring \((a,b)\)
\(\vec F(a+h,b+k)=\vec F(a,b)+\begin{pmatrix}\frac{\partial P}{\partial x}&\frac{\partial P}{\partial y}\\\frac{\partial Q}{\partial x}&\frac{\partial Q}{\partial y}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}+\text{felterm}\)När vi närmar oss \((a,b)\) kommer feltermen \(\to0\) snabbare än övriga termer.
Dvs.\[\oint_{\partial D}\vec F\cdot d\vec r=\{\text{area}(D)\to0\}=\oint_{\partial D}\text{(linjärt vektorfält)}\cdot d\vec r=\{\text{exempel 1}\}\\=\left(Q'_x(a,b)-P'_y(a,b)\right)\cdot\text{area}(D)\]\[\frac1{\text{area}(D)}\oint_{\partial D}\vec F\cdot d\vec r=Q'_x-P'_y=\text{rot}\ \vec F(a,b)\]VSV
Greens formel
Låt \(D\) vara ett slutet område med en styckvis kontinuerligt deriverbar rand \(\partial D\) som är positivt orienterad, och antag att \(\vec F=(P,Q)\) är kontinuerligt deriverbart på \(D\). Då är vektorfältets cirkulation kring randen:
Tolkning:
\[\text{cirkulationen av }\vec F\text{ runt }D={\int\int}_D\text{(cirkulationsdensitet)}dxdy\]Jämför:
\[\text{massa av }D={\int\int}_D\text{(massdensitet)}dxdy\\\text{laddning av }D={\int\int}_D\text{(laddningstäthet)}dxdy\]Motivering:
Vi kan dela upp området \(D\) i små trianglar \(T_i\) och beräkna cirkulationen kring var och en av dessa. Vi beräknar summan av dessa cirkulationer, och noterar att sidor som delas av två trianglar kommer att genomlöpas två gånger, men i motsatta riktningar. Dessa tar alltså ut varandra, och vi får alltså\[\oint_{\partial D}\vec F\cdot d\vec r\approx\sum\oint_{\partial T_i}\vec F\cdot d\vec r\]Om \(T_i\) är liten gäller att \(\oint_{\partial T_i}\vec F\cdot d\vec r\approx\text{rot}\left(\vec F(x_i,y_i)\right)\cdot A_i\), dvs.
\[\oint_{\partial D}\vec F\cdot d\vec r\approx\sum\text{rot}\left(\vec F(x_i,y_i)\right)\cdot A_i\]När vi delar upp området i mindre och mindre trianglar kommer denna riemannsumma att konvergera mot
\[{\int\int}_D\text{rot}\vec F(x,y)dxdy\]Detta är Greens formel.
Exempel: Beräkna
\[\int_\gamma(x^4-y^2)dx+(x^4+y^2)dy\]längs parabeln \(y=x^2\) från \((-1,1)\) till \((1,1)\) och linjen \(y=1\) från \((1,1)\) till \((-1,1)\).
Vi vill alltså beräkna \(\int_\gamma(x^4-y^2)dx+(x^4+y^2)dy\).
Metod 1: Parametrisering
Vi delar upp kurvan i två delar:
\(\gamma_1:(x,y)=(t,t^2),t:-1\to1\) och \(\gamma_2:(x,y)=(t,1),t:1\to-1\)\[\int_{\gamma_1}\vec F\cdot d\vec r=\int_{-1}^1(t^4-t^4,t^4+t^4)\cdot(1,2t)dt=\int_{-1}^14t^5dt=\frac46[t^6]_{-1}^1=0\]\[\int_{\gamma_2}\vec F\cdot d\vec r=\int_1^{-1}(t^4-1,t^4+1)\cdot(1,0)dt=\int_1^{-1}t^4-1dt=\frac15[t^5-5t]_1^{-1}=\frac85\]Svar: \(\int_\gamma\vec F\cdot d\vec r=0+\frac85=\frac85\)
Metod 2: Greens formel.
Vi ser att kurvan är sluten. Vi vill alltså beräkna en cirkulation\[\int_\gamma\vec F\cdot d\vec r={\int\int}_D\text{rot}\ \vec Fdxdy=\int_{-1}^1\int_{x^2}^1(\nabla\times\vec F)dydx=\int_{-1}^1\int_{x^2}^1(4x^3+2y)dydx\\=\left\{\begin{matrix}\text{i }x\text{-led är området}\\\text{symmetriskt \& }x^3\text{ udda}\end{matrix}\right\}=\int_{-1}^1\int_{x^2}^12ydydx=\int_{-1}^1[y^2]_{x^2}^1dx=\int_{-1}^1(1-x^4)dx=\frac85\]Svar: \(\int_\gamma\vec F\cdot d\vec r=\frac85\)
Vektorpotential i planet
Ett vektorfält \(\vec A\) kallas för en vektorpotential till \(f(x,y)\) om
Observera att vektorpotentialen inte är unik! Även \(\vec A+\vec F\), där \(\vec F\) är ett konservativt vektorfält, är en vektorpotential eftersom \(\text{rot}(\vec A+\vec F)=\text{rot}\ \vec A+\text{rot}\ \vec F=f(x,y)+0=f(x,y)\).
Exempel: Bestäm en vektorpotential till \(f(x,y)=xy\).
Vi söker \(\vec A=(P,Q)\) s.a. \(\text{rot}\ \vec A=Q'_x-P'_y=xy\).
Svar: T.ex. \(\vec A=(0,\frac12x^2y)\)Övning: Bestäm en vektorpotential till
a) \(f(x,y)=1\)
Vi söker \(\vec A=(P,Q)\) s.a. \(\text{rot}\ \vec A=Q'_x-P'_y=1\). Svar: t.ex. \(\vec A=(0,x)\)b) \(f(x,y)=x\)
Vi söker \(\vec A=(P,Q)\) s.a. \(\text{rot}\ \vec A=Q'_x-P'_y=x\). Svar: t.ex. \(\vec A=(-xy,0)\)c) \(f(x,y)=y\)
Vi söker \(\vec A=(P,Q)\) s.a. \(\text{rot}\ \vec A=Q'_x-P'_y=y\). Svar: t.ex. \(\vec A=(0,xy)\)d) \(f(x,y)=(x+y)e^{x^2+y^2}\)
Vi söker \(\vec A=(P,Q)\) s.a. \(\text{rot}\ \vec A=\frac\partial{\partial x}Q-\frac\partial{\partial y}P=xe^{x^2+y^2}+ye^{x^2+y^2}\)
Svar: T.ex. \(\vec A=(-\frac12e^{x^2+y^2},\frac12e^{x^2+y^2})\)
Greens formel baklänges
Greens formel kan skrivas som
där \(\vec A\) är en vektorpotential till \(f(x,y)\).
Formeln kan ses som en motsvarighet till integralkalkylens huvudsats
(i båda fallen reduceras en integral över hela området till användning av en "primitiv funktion" på randen)
Övning: Härled en kurvintegralformel för
a) Arean av området \(D\): \({\int\int}_Ddxdy\)
Vi söker en vektorpotential till \(1\). T.ex. \(\vec A=(0,x)\).
Svar: \({\int\int}_Ddxdy=\oint_{\partial D}\vec A\cdot(0,x)d\vec r\)b) Yttröghetsmomentet med avseende på y-axeln för en balk med tvärsnitt \(D\): \(I_y=\rho{\int\int}_Dydxdy\)
Vi söker en vektorpotential till \(y\). T.ex. \(\vec A=(0,xy)\).
Svar: \(I_y=\oint_{\partial D}(0,xy)\cdot d\vec r\)Exempel: Beräkna \({\int\int}_D(x^2+y^2)dxdy\) där \(D\) är cirkelskivan \(x^2+y^2\leq1\).
Metod 1:\[{\int\int}_D(x^2+y^2)dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3drd\theta=\int_0^{2\pi}\frac14d\theta=\frac\pi2\]Metod 2: Greens formel baklänges.
Vi söker en vektorpotential till \(x^2+y^2\). T.ex. \(\vec A=(-\frac13y^3,\frac13x^3)\)
Vi parametriserar enhetscirkeln: \((x,y)=(\cos t,\sin t)\)\[{\int\int}_D(x^2+y^2)dxdy=\oint_{\partial D}(-\frac13y^3,\frac13x^3)\cdot d\vec r=\int_0^{2\pi}\left(-\frac13\sin^3t,\frac13\cos^3t\right)\cdot(-\sin t,\cos t)dt\\=\frac13\int_0^{2\pi}\sin^4t+\cos^4tdt=\{\text{lite besvärligt}\}=\frac13\left(\frac{3\pi}4+\frac{3\pi}4\right)=\frac\pi2\]
Divergens (flödesdensitet)
Divergensen av ett vektorfält \(\vec F=(P,Q)\) är
och mäter hur mycket vektorfältet sprids ut i en punkt.
Övning: En vätskas hastighetsfält ges av \(\vec v=(x^2,xy)\).
Ange om en punkter i a) 1:a, b) 2:a, c) 3:e, d) 4:e kvadranten är källor (\(\text{div}\gt0\)) eller sänkor (\(\text{div}\lt0\)).Vi får \(\text{div}\ \vec F=\nabla\cdot\vec F=2x+x=3x\)
a+d) I 1:a och 4:e kvadranterna är \(x\gt0\implies\text{div}=3x\gt0\). Svar: Källor. b+c) I 2:a och 3:e kvadranterna är \(x\lt0\implies\text{div}=3x\lt0\). Svar: Sänkor.
Divergens som flödesdensitet
Divergensen kan ses som en flödesdensitet och ges då av
där \(D\) är en triangel innehållandes \((a,b)\) och \(\partial D\) är dess randkurva.
Gauss sats i planet
Låt \(D\) vara ett slutet område med en styckvis kontinuerligt deriverbar rand \(\partial D\) med utåtpekande enhetsnormal \(\vec n\), och antag att \(\vec F=(P,Q)\) är kontinuerligt deriverbar på \(D\). Då är
Övning: Beräkna flödesintegralerna med Gauss sats.
a) \(\oint_\gamma\vec n\cdot(xy,x+y)ds={\int\int}_Dy+1dxdy\)
b) \(\oint_\gamma\vec n\cdot(x^2,y)ds={\int\int}_D2x+1dxdy\)
Föreläsning 19
Trippelintegraler
Trippelintegralen över ett rätblock \(D\) i rummet definieras som ett gränsvärde av Riemannsummor:
Om \(f(x,y,z)\) är en kontinuerlig funktion på ett kompakt område \(D\) med kontinuerligt deriverbara randytor, så existerar trippelintegralen
och motsvarande Riemannsumma konvergerar mot samma värde oavsett partitionering.
Rätblock
Om \(f\) är en kontinuerlig funktion på ett rätblock \(D:a\leq x\leq b,c\leq y\leq d,e\leq z\leq f\) kan motsvarande trippelintegral beräknas som en upprepad enkelintegral:
Enkla områden i z-led
Om varje uppsättning av \(x,y\) ger ett sammanhängande intervall \(a(x,y)\leq z\leq b(x,y)\) kallas området för enkelt i z-led. En trippelintegral över ett sådant område \(K\) kan beräknas som:
Motsvarande gäller för enkla områden i x- eller y-led.
Alternativ beteckning för den upprepade integralen:
\[\iint_Ddxdy\int_{a(x,y)}^{b(x,y)}f(x,y,z)dz\]
Snittning
Vid snittning skivar vi upp området i snitt längs med en axel. En trippelintegral kan då beräknas som
där \(D_z\) är snittytan för aktuellt \(z\).
Föreläsning 20
Volymformler
Cylindriskt volymelement
\(V_\text{c}=r\Delta r\Delta\theta\Delta z+\frac12(\Delta r)^2\Delta\theta\Delta z\approx\{\text{för små }\Delta r,\Delta\theta,\Delta z\}\approx r\Delta r\Delta\theta\Delta z\)
Sfäriskt volymelement
\(V_\text{s}\approx\{\text{för små }\Delta r,\Delta\phi,\Delta\theta\}\approx r^2\sin\phi\Delta r\Delta\phi\Delta\theta\)
Parallellepiped
Volymen av den parallellepiped som spänns upp av \(\vec u,\vec v,\vec w\) ges av
Variabelsubstitution
Cylindrisk substitution
Övning: Skriv integralerna efter en cylindrisk substitution.
a) \(\iiint_Kx^2zdxdydz\) där \(K\) är första oktantens fjärdedel av cylindern \(0\leq r\leq2,0\leq z\leq3\)\[\iiint_Kx^2zdxdydz=\iiint_{\substack{0\leq r\leq2\\0\leq\theta\leq\frac\pi2\\0\leq z\leq3}}r^2\cos^2(\theta)zrdrd\theta dz\]b) \(\iiint_K3y^2dxdydz\) där \(K\) är första oktantens fjärdedel av konen med radie 2 och höjd 3
\[\iiint_K3y^2dxdydz=\iiint_{\substack{0\leq r\leq2\\0\leq\theta\leq\frac\pi2\\0\leq z\leq3-\frac{3r}2}}3r^2\sin^2(\theta)rdrd\theta dz\]Exempel: Beräkna \(\iiint_K(x^2-y^2)zdxdydz\) där \(K:1\leq x^2+y^2\leq4,0\leq z\leq2\).
\[\iiint_K(x^2-y^2)zdxdydz=\iiint_{\substack{1\leq r\leq2\\0\leq\theta\leq2\pi\\0\leq z\leq2}}(r^2\cos^2(\theta)-r^2\sin^2(\theta))zrdrd\theta dz\\=\int_0^2\left(\int_0^{2\pi}\left(\int_1^2zr^3\cos(2\theta)dr\right)d\theta\right)dz=\int_0^2zdz\cdot\int_0^{2\pi}\cos(2\theta)d\theta\cdot\int_1^2r^3dr\\=2\cdot0\cdot\frac{15}4\]
Sfärisk substitution
Övning: Skriv integralerna efter en sfärisk substitution.
a) \(\iiint_K(x^2+y^2)zdxdydz\) där \(K\) är 1:a oktantens åttondel av klotet med radie 2 och medelpunkt i origo.\[\iiint_K(x^2+y^2)zdxdydz=\iiint_{\substack{0\leq r\leq2\\0\leq\phi\leq\frac\pi2\\0\leq\theta\leq\frac\pi2}}r^2\sin^2(\phi)r\cos\phi r^2\sin\phi drd\phi d\theta\\=\iiint_{\substack{0\leq r\leq2\\0\leq\phi\leq\frac\pi2\\0\leq\theta\leq\frac\pi2}}r^5\sin^3(\phi)\cos(\phi)drd\phi d\theta\]b) \(\iiint_K(x^2+y^2)zdxdydz\) där \(K\) är området \(0\leq r\leq2,0\leq\phi\leq\frac\pi3,0\leq\theta\leq2\pi\).
\[\iiint_K\frac{xy}{1+x^2+y^2+z^2}dxdydz=\iiint_K\frac{r^2\sin^2(\phi)\cos(\theta)\sin(\theta)}{1+r^2}r^2\sin(\phi)drd\phi d\theta\\=\iiint_K\frac{r^4\sin^3(\phi)\cos(\theta)\sin(\theta)}{1+r^2}drd\phi d\theta\]Exempel: Beräkna \(\iiint_K(x^2+y^2)dxdydz\) där \(K:1\leq x^2+y^2+z^2\leq4\).
Vi gör sfärisk substitution och får\[\iiint_K(x^2+y^2)dxdydz=\iiint_{\substack{1\leq r\leq2\\0\leq\phi\leq\pi\\0\leq\theta\leq2\pi}}r^2\sin^2(\phi)r^2\sin(\phi)drd\phi d\theta=\iiint_{\substack{1\leq r\leq2\\0\leq\phi\leq\pi\\0\leq\theta\leq2\pi}}r^4\sin^3(\phi)drd\phi d\theta\\=2\pi\int_1^2r^4dr\cdot\int_0^\pi\sin^3(\phi)d\phi=\frac{62\pi}5\cdot\frac43=\frac{248\pi}{15}\]Svar: \(\frac{248\pi}{15}\)
Allmän substitution
Vid byte till allmänna koordinater \(u,v,w\) ändras en trippelintegral enligt formeln
Förklaring:
Vi partitionerar området i små rätblock. Dessa avbildas lokalt till approximativa parallellepipeder av den linjära avbildningen \(J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\), vars volymer blir \(\Delta V_{ijk}=\Delta u_i\Delta v_j\Delta w_k|\det J|\).
Bidraget från varje liten parallellepiped är \(f(x(u_i,v_j,w_k),y(u_i,v_j,w_k),z(u_i,v_j,w_k))|\det J|\Delta u_i\Delta v_j\Delta w_k\)
Detta kan ställas upp som en riemannsumma som konvergerar mot trippelintegralens värde.
Symmetrier
Om en funktion \(f(x,y,z)\) är udda i \(x\)-led, dvs. \(f(-x,y,z)=-f(x,y,z)\), och integreras över ett område som är symmetriskt i \(x\)-led, kommer \(\iiint f(x,y,z)dxdydz=0\).
Föreläsning 21
Parameterytor
En parameteryta är en yta där \(x,y,z\)-koordinaterna styrs av två parametrar \(s,t\).
Exempel: Parametrisera ytorna och ange parameterområdet.
a) paraboloid med spets i origo och som går genom punkten \((0,2,2)\), med \(0\leq z\leq2\)
Paraboloiden kan beskrivas av \(z=k(x^2+y^2)\). Den givna punkten ger \(k=\frac12\), och för parametrisering kan vi t.ex. anta \((s,t)=(x,y)\):\[\vec r(s,t)=(s,t,\frac12(s^2+t^2))\]där \(s^2+t^2\leq4\), dvs parameterområdet är en cirkelskiva med medelpunkt i origo och radie 2.
b) enhetssfär (tänkt mittpunkt \((0,0,0)\)) med begränsning \(0\leq z\leq1\)
Vi ser att alla punkter på ytan uppfyller \(\begin{cases}r=1\\0\leq\phi\leq\frac\pi2\\0\leq\theta\lt2\pi\end{cases}\), med polära koordinater, och vi kan då välja \((r,\theta,\phi)=(4,s,t)\). I rektangulära koordinater får vi slutligen\[\vec r(s,t)=(\cos s\sin t,\sin s\sin t,\cos t)\]där \(0\leq s\leq\frac\pi2,0\leq t\leq2\pi\)
Övning: Parametrisera ytorna och ange parameterområdet.
a) cylindriskt skal med radie 2 med medelaxel \((x,y)=(0,0)\), och begränsad till \(0\leq z\leq2\)
I cylindriska koordinater \(\begin{cases}r=2\\0\leq\theta\leq2\pi\\0\leq z\leq2\end{cases}\). En parametrisering kan vara\[\vec r(s,t)=(2r\cos s,2r\sin s,2t)\]där \(0\leq s\leq2\pi,0\leq t\leq2\).
b) koniskt skal
I cylindriska koordinater ges ytan av \(0\leq z=r\leq2\). En parameterform i rektangulära koordinater ges av\[\vec r(s,t)=(s\cos t,s\sin t,s)\]
Area av buktiga ytor
Area av ett parallellogram
Ett parallellogram som har kantvektorer \(\vec u,\vec v\) har arean
Area av en parameteryta
En kontinuerligt deriverbar parameteryta
där \((s,t)\in D\) har arean
Härledning:
Vi delar in parameterområdet i små rektanglar. Lokalt avbildas dessa approximativt av den linjära approximationen med koefficientmatris\[J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t)}=\begin{bmatrix}\vert&\vert\\\frac{\partial\vec r}{\partial s}&\frac{\partial\vec r}{\partial t}\\\vert&\vert\end{bmatrix}\]Varje rektangel avbildas därmed approximativt till ett parallellogram med area \(\left|\frac{\partial\vec r}{\partial s}\times\frac{\partial\vec r}{\partial t}\right|\Delta s\Delta t\).
Detta kan skrivas upp som en riemannsumma, som konvergerar mot parameterytans area.
Uttrycket
kallas för areaelementet. Arean av ytan \(S\) ges då av
där \(\vec r(s,t)\) är en parametrisering av ytan \(S\) med parameterområdet \(D\).
Exempel: Bestäm arean av ytan \(\begin{cases}x=u-v\\y=u+v\\z=u^2-2uv-v^2\end{cases}\) där \(u^2+v^2\lt2\) och \(u-v\gt0\).
Arean ges av\[A={\int\int}_D\left|\frac{\partial\vec r}{\partial u}\times\frac{\partial\vec r}{\partial v}\right|dudv={\int\int}_D\left|\begin{pmatrix}1\\1\\2u-2v\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\1\\-2u-2v\end{pmatrix}\right|dudv\\={\int\int}_D\left|\begin{pmatrix}-4u\\4v\\2\end{pmatrix}\right|dudv={\int\int}_D2\sqrt{1+4(u^2+v^2)}dudv=\{\text{byt till polära koordinater}\}\\=\int_{-3\pi/4}^{\pi/4}\int_0^{\sqrt2}2\sqrt{1+4r^2}rdrd\theta=\left\{\begin{matrix}t=1+4r^2\\dr=\frac1{8r}dt\end{matrix}\right\}=\frac14\int_{-3\pi/4}^{\pi/4}\int_1^9\sqrt{t}dtd\theta=\frac\pi6[t^{1.5}]_1^9=\frac{13\pi}3\]Svar: Arean är \(13\pi/3\) a.e.
Areaelement för några vanliga ytor
| Yta | Parametrisering | Areaelement |
|---|---|---|
| Cylinder med radie \(R\) | \(\vec r(\theta,z)\\=(R\cos\theta,R\sin\theta,z)\) | \(dS=Rd\theta dz\) |
| Sfär med radie \(R\) | \(\vec r(\theta,\phi)\\=(R\sin\phi\cos\theta,R\sin\phi\sin\theta,R\cos\phi)\) | \(dS=R^2\sin\phi d\phi d\theta\) |
| Funktionsyta \(z=f(x,y)\) | \(\vec r(x,y)=(x,y,f(x,y))\) | \(dS=\\\sqrt{1+(f'_x)^2+(f'_y)^2}dxdy\) |
Exempel: Beräkna arean av den hyperboliska paraboloiden \(z=xy\) inuti cylindern \(x^2+y^2\leq1\).
\(A={\int\int}_{x^2+y^2\leq1}\sqrt{1+y^2+x^2}dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^1\sqrt{1+r^2}rdrd\theta=\left\{\begin{matrix}t=1+r^2\\dr=\frac1{2r}dt\end{matrix}\right\}\\=\pi\int_1^2\sqrt tdt=\frac{2\pi}3[t^{1.5}]_1^2=\frac{2\pi}3(2\sqrt2-1)\)
Svar: Arean är \(\frac{2\pi}3(2\sqrt2-1)\) a.e.
Föreläsning 22
Ytbegrepp
- Orienterad yta: En yta som ges in- och utsida. Observera att alla ytor inte kan orienteras.
- Utåtriktad normal: Ett sätt att indikera ytans orientering.
Flödesintegral
T.ex. flödet av en vätska genom en yta.
Konstant flöde genom ett parallellogram
En vätska flödar i rummet med hastighet \(\vec v\). Genom ett parallellogram med kantvektorer \(\vec u,\vec w\) är flödet per tidsenhet
Flöde genom en parameteryta
Flödet genom en parameteryta ges av
där \(d\vec S\) kallas för det vektoriella ytelementet och \(\vec r(s,t)\) är en parametrisering av ytan \(D\).
Exempel: Beräkna \(\iint_S(xy,yz,xz)\cdot d\vec S\) där \(S\) är ytan som ges av \(\vec r(s,t)=(\cos(s),t,\sin(s))\) för \(0\leq s\leq\frac\pi2,0\leq t\leq2\)
Det vektoriella ytelementet är: \(\left(\frac{\partial\vec r}{\partial s}\times\frac{\partial\vec r}{\partial t}\right)dsdt=\left(\begin{bmatrix}-\sin(s)\\0\\\cos(s)\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right)dsdt=\begin{bmatrix}-\cos(s)\\0\\-\sin(s)\end{bmatrix}dsdt\)\[\iint_S(xy,yz,xz)\cdot d\vec S=\iint_S\begin{pmatrix}t\cos(s)\\t\sin(s)\\\cos(s)\sin(s)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-\cos(s)\\0\\-\sin(s)\end{pmatrix}dsdt\\=\iint_S-t\cos^2(s)-\cos(s)\sin^2(s)dsdt=-\frac\pi2-\frac23\]
I vissa situationer är det en fördel att skriva det vektoriella ytelementet som
Exempel: Beräkna \(\iint_S\vec F\cdot d\vec S\) där \(\vec F=(x,y,z)\) ut genom ytan \(S:x^2+z^2=16,x\geq0,0\leq y\leq2\).
Vi har enhetsnormalen \(\hat n=\frac14(x,0,z)\) och således \(d\vec S=\hat ndS\)
Detta ger:\[\frac14\iint_S(x,y,z)\cdot(x,0,z)dS=\frac14\iint_Sx^2+z^2dS=4\iint_SdS=\{4\cdot\text{arean}\}=32\pi\]Exempel: Beräkna flödet av vektorfältet \(\vec F=(x,y+1,z)\) upp genom halvsfären \(x^2+y^2+z^2=9,z\geq0\).
Vi har enhetsnormalen \(\hat n=\frac13(x,y,z)\implies d\vec S=\frac13(x,y,z)dS\)
Integralen beräknas:\[\iint_S\vec F\cdot d\vec S=\frac13\iint_S(x^2+y^2+y+z^2)dS=\frac13\iint_S(9+y)dS=\left\{\begin{matrix}y\text{ är udda i x-led \&}\\S\text{ symmetriskt i x-led}\end{matrix}\right\}\\=3\iint_SdS=3\cdot\frac{4\pi}2\cdot3^2=54\pi\]Exempel: Beräkna \(\iint_S(2x,2y,3)\cdot d\vec S\) där \(S\) är den del av paraboloiden \(z=4-x^2-y^2\) ovanför x,y-planet och orienterad så att den utåtriktade normalen har positiv z-koordinat.
Vi kan parametrisera ytan som \(\vec r(s,t)=(s,t,4-s^2-t^2)\).
Vektoriella ytelementet: \(d\vec S=\left(\begin{bmatrix}1\\0\\-2s\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0\\1\\-2t\end{bmatrix}\right)dsdt=\begin{pmatrix}2s\\2t\\1\end{pmatrix}dsdt\)\[\iint_S(2s,2t,3)\cdot(2s,2t,1)dsdt=\iint_{\substack{x^2+y^2\leq4}}(4(s^2+t^2)+3)dsdt\\=\iint_{\substack{0\leq r\leq2\\0\leq\theta\leq2\pi}}(4r^2+3)rdrd\theta=2\pi\int_0^2(4r^3+3r)dr=44\pi\]
Räkneregler
- Additivitet: Flödet ut ur en yta kan beskrivas som summan ut ur två delytor.
- Orientering: Byte av orientering ger omvänt tecken på flödesintegralens värde.
- Linjaritet: Som vanligt gäller att termer kan delas upp, och att konstanta produkter kan brytas ut.
Föreläsning 23
Flöde
Om \(S\) är randytan till ett öppet område så definieras flödet av ett vektorfält \(\vec F\) ut ur området som
där \(\hat n\) är den utåtpekande enhetsnormalen.
Exempel 1: Låt \(\vec F=(a+bx+cy+ez,f+gx+hy+iz,j+kx+ly+mz)\) och \(D\) vara en fyrhörning. Visa att flödet av \(\vec F\) ut ur fyrhörningens randyta \(S\) ges av
\[\boxed{\oiint_S\hat n\cdot\vec FdS=(b+h+m)\cdot V}\]där \(V\) är fyrhörningens volym.
...
Övning: Beräkna flödet av \(\vec F=(1-x,y-z,x+2z)\) ut ur
a) fyrhörningen \(P:(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(0,0,2)\)
\(\oiint_{\partial S}\vec F\cdot\hat ndS=((-1)+1+2)\cdot V=\frac{32}3\)
Svar: 32/3b) femhörningen \(P:(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(0,0,2)\)
Denna kan delas upp i två fyrhörningar. Vi beräknar då summan av flödet ut ur de två delarna.
Notera att det inte spelar någon roll att vi integrerar över den gemensamma sidan "i mitten", eftersom vi gör detta två gånger, och i "motsatt riktning" - de tar då ut varandra.
\(\oiint_{\partial P}\vec F\cdot d\vec S=\oiint_{\partial P_1}\vec F\cdot d\vec S+\oiint_{\partial P_2}\vec F\cdot d\vec S=2\cdot V(P_1)+2\cdot V(P_2)=\frac{64}3\)
Svar: 64/3
Divergens (flödesdensitet)
Uttrycket
kallas för divergensen av \(\vec F\) och mäter hur mycket vektorfältet flödar ut ur en punkt.
Ett vektorfält kallas för källfritt om \(\text{div}\ \vec F=0\) överallt.
Övning: Bestäm divergensen av \(\vec F\).
a) \(\vec F=(z,x,y)\)
Svar: Källfritt.b) \(\vec F=(x^2+yz,y^2+xz,z^2+xy)\)
\(\text{div}\ \vec F=(\frac\partial{\partial x},\frac\partial{\partial y},\frac\partial{\partial z})\cdot(x^2+yz,y^2+xz,z^2+xy)=2x+2y+2z\)
Svar: \(\text{div}\ \vec F=2x+2y+2yz\)
Divergensen som flödesdensitet
Divergensen kan ses som en flödesdensitet och ges av
där \(D\) är en fyrhörning som innehåller \((a,b,c)\) och \(\partial D\) är dess randyta.
Exempel: Härled formeln ovan.
Låt \(\vec F=(P,Q,R)\)
Vi gör en linjär approximation av vektorfältet:\[\vec F(a+h,b+k,c+l)=\begin{pmatrix}P(a,b,c)+P'_x(a,b,c)h+P'_y(a,b,c)k+P'_z(a,b,c)l\\Q(a,b,c)+Q'_x(a,b,c)h+Q'_y(a,b,c)k+Q'_z(a,b,c)l\\R(a,b,c)+R'_x(a,b,c)h+R'_y(a,b,c)k+R'_z(a,b,c)l\end{pmatrix}+\text{felterm}\]Vi får då:
\[\oiint\vec F\cdot d\vec S=\oiint(\text{linjärt vektorfält})\cdot d\vec S+\text{felterm}\\=\{\text{skriver om enligt ex. 1}\}=(P'_x(a,b,c)+Q'_y(a,b,c)+R'_z(a,b,c))\cdot\text{volym}+\text{felterm}\]Efter division i båda led med volymen, och då volymen gå mot 0, får vi:
\[\lim_{\text{volym}\to0}\frac1{\text{volym}}\oiint\vec F\cdot d\vec S=\text{div}\ \vec F(a,b,c)\]
Gauss sats
Låt \(D\) vara ett kompakt område med en rand som består av styckvis deriverbara ytstycken (dvs. finns kontinurligt deriverbara parametriseringar av ytan), och \(\vec F=(P,Q,R)\) vara ett kontinuerligt deriverbart vektorfält. Då gäller:
där \(\hat n\) är den utåtpekande enhetsnormalen.
Dvs. flödet ut ur \(D\) kan beräknas genom att integrera flödesdensiteten (divergensen) över \(D\).
Övning: Skriv om flödesintegralerna som trippelintegraler med Gauss sats och förenkla.
a) \(\oiint_{\partial K}\hat n\cdot(xy^2,y,xz^2)\) där \(K\) är halvklotet \(0\leq r\leq2,0\leq\phi\leq\frac\pi2\)
\(=\iiint_K\left(\frac\partial{\partial x}xy^2+\frac\partial{\partial y}y+\frac\partial{\partial z}xz^2\right)dxdydz\\=\iiint_K(y^2+1+2xz)dxdydz=\iiint_Ky^2dxdydz+\frac{16}3\pi+0\)b) \(\oiint_{\partial K}\hat n\cdot(x^2,y^2,z^2)dS\) där \(K\) är kuben \(\begin{cases}-1\leq x\leq1\\-1\leq y\leq1\\0\leq z\leq2\end{cases}\)
\(=\iiint_K\text{div}(x^2,y^2,z^2)dxdydz=\iint_K(2x+2y+2z)dxdydz\\=2\iiint_Kxdxdydz+2\iiint_Kydxdydz+2\iiint_Kzdxdydz=2\iiint_Kzdxdydz\)Exempel: Beräkna flödet av vektorfältet \(\vec F=(x^3y,xz,yz^3)\) ut från området \(x^2+z^2\leq1,0\leq y\leq1,x\geq0,z\geq0\).
\[\iint_{\partial D}\vec F\cdot\hat ndS=\iiint_D\text{div}\ \vec Fdxdydz=\iiint_D3x^2y+3yz^2dxdydz\\=\{\text{typ cylindriska}\}=3\iiint_{\substack{0\leq r\leq1\\0\leq y\leq1\\0\leq\theta\leq\frac\pi2}}yr^2\left|\det\begin{bmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta&0\\0&0&1\\\sin\theta&r\cos\theta&0\end{bmatrix}\right|drd\theta dy\\=3\frac\pi2\int_0^1\left(\int_0^1yr^3dr\right)dy=\frac{3\pi}2\int_0^1\frac y4dy=\frac{3\pi}{16}\]
Gauss sats baklänges
där vektorfältet \(\vec F\) uppfyller \(\text{div}\ \vec F=f(x,y,z)\).
Detta kan jämföras med integralkalkylens huvudsats för enkelintegralen. I båda fallen reduceras en integral över hela området till att undersöka en "primitiv funktion" på randen.
Föreläsning 24
Orienterade randkurvor
Om en orienterad yta har en randkurva induceras en orientering av randkurvan enligt högerhandsregeln (tummen motsvarar normalen, och fingrarna randkurvans orientering).
Cirkulation
Om \(S\) är en enkel sluten yta definieras cirkulationen av ett vektorfält \(\vec F\) runt \(S\) som
där \(\hat n\) är den utåtpekande enhetsnormalen.
Cirkulationen mäter hur mycket \(\vec F\) flöder utmed ytan \(S\), dvs. hur vektorfältet roterar runt ytan. Dess riktning anger rotationsaxelns riktning enligt högerhandsregeln.
Exempel: Bestäm cirkulationen för \(\vec F=(0,z,-y)\) runt randytan till området \(y^2+z^2\leq1,0\leq x\leq1\).
\(\oiint_{S_1}(0,y,z)\times(0,z,-y)dS=\oiint_{S_1}(-y^2-z^2,0,0)dS=\oiint_{S_1}(-1,0,0)dS=(-1,0,0)\oiint_{S_1}dS\\=(-2\pi,0,0)\)
\(\oiint_{S_2}(1,0,0)\times(0,z,-y)dS=\oiint_{S_2}(0,y,z)dS=\left(0,\oiint_{S_2}ydS,\oiint_{S_2}zdS\right)=(0,0,0)\)
Motsvarande för den andra cirkelskivan.\[\oiint_S\hat n\times\vec FdS=(-2\pi,0,0)+\vec0+\vec0=(-2,0,0)\]
Rotation (cirkulationstäthet)
Rotationen av ett vektorfält \(\vec F\) definieras som
Dess belopp anger hur mycket vektorfältet virvlar i en punkt och riktningen anger rotationsaxeln enligt högerhandsregeln.
Ett vektorfält \(\vec F\) kallas för rotationsfritt om \(\text{rot}\ \vec F=\vec0\) överallt.
Rotation som cirkulationstäthet
Rotationen kan ses som en cirkulationsdensitet och ges av
där \(D\) är en fyrhörning som innehåller \((a,b,c)\) och \(\partial D\) är dess randyta.
Stokes sats
Antag att \(S\) är en orienterad yta med en orienterad randkurva \(\partial S\). Om \(\vec F=(P,Q,R)\) är ett kontinuerligt deriverbart vektorfält, så är
Vektorpotential i rummet
Ett vektorfält \(\vec A\) kallas för en vektorpotential till ett källfritt vektorfält \(\vec F\) om
Om \(\vec F\) inte är källfritt finns ingen vektorpotential.
Observera att vektorpotentialen inte är unik. Även \(\vec A+\vec G\), där \(\vec G\) är ett konservativt vektorfält, är en vektorpotential eftersom
Stokes sats baklänges
För källfria vektorfält \(\vec F\) kan Stokes sats formuleras som
där \(\vec A\) är en vektorpotential till \(\vec F\).