SF1625 Envariabelanalys 7,5 hp

Tillfälleskod	Termin(er)	Period(er)	Föreläsare
61059	VT2024	3	Hans Thunberg

Sammanfattning av föreläsningarna VT2024 (period 3) och delar ur kursboken Calculus: A Complete Course (9:e uppl.).

Blandat: - En funktion \(f\) är kontinuerlig i \(a\) omm \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).

Föreläsning 1

Föreläsning 2

Föreläsning 3

Föreläsning 4

Derivata

Definition: Om en funktion \(f(x)\) är definierad i en omgivning till \(x=x_0\), definieras

\[f'(x_0)=lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\]

förutsatt att gränsvärdet existerar\(\iff f\) är deriverbar i \(x_0\)

Sats: \(f\) är deriverbar i \(x_0\implies f\) är kontinuerlig i \(x_0\)

\(\lim_{x\to0}\frac{sin(x)}x=1\\\lim_{x\to0}\frac{1-cos(x)}x=0\)

Kedjeregeln

Om \(f(a)\) är deriverbar i \(a=g(x_0)\) och \(g(x)\) är deriverbar i \(x=x_0\), så är \(\frac d{dx}(f\circ g)(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0)\)

Föreläsning 5

Högre ordningens derivator

Beteckningar: \(f''(x)=y''(x)=D^2f(x)=\frac{d^2f}{dx^2}\)

I någon punkt \(x_0\):

\[f''(x_0)=y''(x_0)=(D^2f)(x_0)=\left.\frac{d^2f}{dx^2}\right|_{x=x_0}=\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=x_0}\]

Andra- och tredjederivatan betecknas \(f''\) resp. \(f'''\). Fr.o.m. fjärdederivatan används beteckningen \(f^{(n)}\).

Medelvärdessatsen mm.

Om \(f\) är kontinuerlig på \([a,b]\) och deriverbar på \((a,b)\) finns det en punkt \(c\in(a,b)\) sådan att

\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Lokala extrempunkter

\(x_0\) är ett lokalt maximum om det finns en omgivning till \(x_0\) på vilken \(f(x_0)\geq f(x)\)
\(x_0\) är ett lokalt minimum om det finns en omgivning till \(x_0\) på vilken \(f(x_0)\leq f(x)\)

En funktion \(f\) är växande (nondecreasing) på ett intervall omm \(x_1\gt x_2\implies f(x_1)\geq f(x_2)\).

Funktionen är strängt växande (increasing) omm dessutom \(f(x_1)\gt f(x_2)\). Alternativt: \(f'(x)=0\) i ett ändligt antal punkter; i övriga \(f'(x)\gt0\).

Bevis av medelvärdessatsen

Sats 14 (s. 142): Om \(f\) är definierad på \((a,b)\) och har en extrempunkt i \(c\in(a,b)\), och \(f'(c)\) finns, så är \(f'(c)=0\).

Bevis: Låt \(f\) ha en maxpunkt \(c\implies \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0\)

(1) \(f'(c)=\lim_{x\rarr c^+}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}\leq0\)

(2) \(f'(c)=\lim_{x\rarr c^-}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}\geq0\)

\(\therefore f'(c)=0,\ \text{V.S.V.}\)

Rolles sats (s. 142): Om \(f\) är kontinuerlig på ett ändligt intervall \([a,b]\) och deriverbar på \((a,b)\), och \(f(a)=f(b)\), så finns en punkt \(c\) s.a. \(f'(c)=0\).

Bevis: Om \(f(x)=f(a)\) för alla \(x\in[a,b]\) så är \(f\) en konstant funktion\(\implies f'(c)=0\) för alla \(c\in(a,b)\). Anta att det finns \(x\in(a,b)\) s.a. \(f(x)\neq f(a)\).

Om \(f(x)\gt f(a)\) måste \(f\) ha en maxpunkt \(c\in[a,b]\). Eftersom \(f(c)\geq f(x)\gt f(a)\) är \(c\neq a,b\). Med sats 14 fås då att \(f'(c)=0\).
Om \(f(x)\lt f(a)\): liknande bevis.

Implicit derivering

Används för att finna lutningen i någon punkt på en ekvationsgraf.

Exempel: \(x^3+y^3-3xy=0\)
Punkten \((3/2,3/2)\) ligger på kurvan.
Vi söker en funktion för det kringliggande området. Vi deriverar båda led.

\[\frac d{dx}\left(x^3+y(x)^3-3xy(x)\right)=\frac d{dx}0\\\iff\frac d{dx}x^3+\frac d{dx}y(x)^3-\frac d{dx}3xy(x)=0\\\iff3x^2+3y(x)^2y'(x)-(3y(x)+3xy'(x))=0\\\iff(3y(x)^2-3x)y'(x)=3y(x)-3x^2\\\iff y'(x)=\frac{3y(x)-3x^2}{3y(x)^2-3x}\]

Tillämpning: Bevis av \(\frac d{dx}x^r=rx^{r-1}\) för \(r\in\mathbb{Q}\).

Låt \(y=x^{m/n}\implies y^n=x^m\)

Implicit derivering av detta m.a.p. \(x\):

\[\frac d{dx}y^n=\frac d{dx}x^m\implies ny^{n-1}y'=mx^{m-1}\\\iff y'=\frac{mx^{m-1}}{ny^{n-1}}=...=\frac mnx^{m/n-1}=rx^{r-1}\]

Linjära approximationer

Om \(f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) om \(x\approx x_0\).

Föreläsning 6

Primitiva funktioner

Exempel: \(F(x)=x^3+C\) är en primitiv funktion till \(f(x)=3x^2\) eftersom \(\frac d{dx}(x^3+C)=3x^2\).

Sats: \(F\) och \(G\) är båda primitiva funktioner till samma funktion på ett intervall \(\iff F(x)=G(x)+C\) på samma intervall (\(C\) konstant)

Definition:
Den obestämda integralen till \(f\) på ett intervall:

\[\int{f(x)dx}=F(x)+C\]

Detta betecknar den allmänna primitiva funktionen till \(f\) på intervallet.

Inverterbara funktioner

Definition:
En funktion \(f:\mathcal{D}_f\rarr \mathcal{R}_f\) är inverterbar om det finns en funktion \(f^{-1}:\mathcal{R}_f\rarr \mathcal{D}_f\) sådan att

\[g\circ f(x)=x\]

för alla \(x\in \mathcal{D}_f\).

Definitioner: En funktion \(f:X\rarr Y\) är

Injektiv (ett-till-ett) omm \(x_1\neq x_2\iff f(x_1)\neq f(x_2)\)

Surjektiv omm \(Y=\mathcal{R}_f\) (dvs. omm det för alla \(y\in Y\) finns \(x\in X\) så att \(f(x)=y\))

Generellt villkor för inverterbarhet:

En funktion \(f:X\rarr Y\) är inverterbar omm den är bijektiv (injektiv och surjektiv).

Exempel:

Låt \(h:[0,\pi]\rarr \mathbb{R},\ h(x)=cos(x)\)
\(h\) är injektiv (observera definitionsmängden), men inte surjektiv eftersom \(\mathcal{R}_h=[-1,1]\neq \mathbb{R}\)

Sats:
En kontinuerlig funktion \(f\) är inverterbar på ett intervall omm \(f\) är strängt monoton (strängt växande eller strängt avtagande) på samma intervall.
(inversen går dock inte alltid att uttrycka med elementära funktioner)

Observera att \(g(x)=\frac 1x\) är inverterbar trots att den inte är monoton på \(\mathcal{D}_g\). Satsen ovan går inte att tillämpa på definitionsmängden, eftersom den inte är ett intervall.

Inversens graf

Punkten \((a,b)\) ligger på grafen \(y=f(x)\) \(\iff b=f(a)\\\iff a=f^{-1}(b)\\\iff\) punkten \((b,a)\) ligger på grafen \(y=f^{-1}(x)\)

Grafen till \(y=f^{-1}(x)\) fås genom att spegla \(y=f(x)\) i linjen \(y=x\).

Inversens derivata

Derivering av VL & HL i \(f(f^{-1}(x))=x\) ger:

\[\frac d{dx}f(f^{-1}(x))=f'(f^{-1}(x))\cdot \frac d{dx}f^{-1}(x)=1\\\iff \frac d{dx}f^{-1}(x)=\frac 1{f'(f^{-1}(x))}\]

Föreläsning 8

Arcusfunktioner

Funktionen \(f(x)=\sin(x)\) är inte inverterbar eftersom den inte är injektiv.

För att definiera en invers begränsar vi definitionsmängen:

Definition:

Låt \(\text{Sin}(x)=\sin(x)\) och \(\mathcal{D_{\text{Sin}}}=[-\pi/2,\pi/2]\). Denna funktion är bijektiv och således inverterbar.

Inversen betecknas \(\arcsin(x),\ x\in[-1,1]\)

Arcusfunktionernas derivator

\[\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

\[\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

\[\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\]

Första ordningens linjära DE

Homogena

Allmän form:

\[k\cdot f(x)+\frac{d}{dx}f(x)=0\]

Lösning: \(f(x)=Ce^{-kx}\)

Andra ordningens linjära DE

Homogen (H)

Allmän form:

\[ay''+by'+cy=0\]

Lösning:

Ansats: \(y=e^{rt}\)

Detta ger oss: \(e^{rt}(ar^2+br+c)=0\) (karakteristisk ekvation)

Tre fall:

Två olika reella rötter \(r_1,\ r_2\iff y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}\)

En reell rot \(r\iff y_h=e^{rt}(C_1+tC_2)\)

Komplexa rötter \(r=\alpha\pm i\beta\)

\[y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t} \\=C_1e^{(\alpha+i\beta)t}+C_2e^{(\alpha-i\beta)t} \\=e^{\alpha t}(C_1(\cos(\beta t)+i\sin(\beta t))+C_2(\cos(\beta t)-i\sin(\beta t))) \\=e^{\alpha t}((C_1+C_2)\cos(\beta t)+(C_1-C_2)i\sin(\beta t))\]

Vi låter \(C_1=\frac{A+Bi}2\) och \(C_2=-\frac{A-Bi}2\), vilket ger

\[y_h=e^{\alpha t}((\frac{A+Bi}2-\frac{A-Bi}2)\cos(\beta t)+(\frac{A+Bi}2+\frac{A-Bi}2)i\sin(\beta t))\\\ \\=e^{\alpha t}(A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t))\]

där \(A\) och \(B\) är reella konstanter.

Inhomogen (IH)

Sats 1:

Om \(y_1\) är en lösning till (IH) och \(y_h\) en lösning till (H) är också \(y_2=y_1+y_h\) en lösning till (IH).

Sats 2:

Om \(y_h\) är den allmänna lösningen till (H) och \(y_p\) är någon lösning till (IH), ges den allmänna lösningen till (IH) av \(y_a=y_h+y_p\).

Jämf. linjära ekvationssystem.

Allmän form:

\[k\cdot f(x)+\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d^2}{dx^2}f(x)=g(x)\]

Homogen lösning: Se ovan.

Partikulärlösning: Beror på \(g(x)\).

\(\bold{g(x)}\) Partikulärlösning (ansats)

Polynom av grad \(n\) Polynom av grad \(n\)

\(\sin(ax)\) \(A\sin(ax)+B\sin(ax)\)

\(\bold{g(x)}\)	Partikulärlösning (ansats)
Polynom av grad \(n\)	Polynom av grad \(n\)
\(\sin(ax)\)	\(A\sin(ax)+B\sin(ax)\)